---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma infn-rleq


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. f : I^n ⟶ ℝ
5. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
6. x : I^n
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. x (n - 1) ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 
9. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1)))) ≤ (f x++x (n - 1))
10. ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x)))
      ⇒ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = inf{infn(n - 1;I) (λa.(g a++z)) | z ∈ I}))
11. ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
      ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
12. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
13. inf(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) = inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I}
14. inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} ≤ (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1))))
15. ∀z,y:{z:ℝ| z ∈ I} .  ((z = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y)))))
⊢ req-vec(n;x++x (n - 1);x)
BY
{ (D 0 THENA Auto) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. f : I^n ⟶ ℝ
5. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
6. x : I^n
7. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
8. x (n - 1) ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 
9. (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1)))) ≤ (f x++x (n - 1))
10. ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x)))
      ⇒ (inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = inf{infn(n - 1;I) (λa.(g a++z)) | z ∈ I}))
11. ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
      ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
      ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
      ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
12. ∀a,b:I^n.  (req-vec(n;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))
13. inf(infn(n - 1;I) (λa.(f a++x))(x∈I)) = inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++x)) | x ∈ I}
14. inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} ≤ (infn(n - 1;I) (λa.(f a++x (n - 1))))
15. ∀z,y:{z:ℝ| z ∈ I} .  ((z = y) ⇒ ((infn(n - 1;I) (λa.(f a++z))) = (infn(n - 1;I) (λa.(f a++y)))))
16. i : ℕn
⊢ (x++x (n - 1) i) = (x i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  f  :  I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))
6.  x  :  I\^{}n
7.  \mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
          (\mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}|  \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  )
8.  x  (n  -  1)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x  (n  -  1))))  \mleq{}  (f  x++x  (n  -  1))
10.  \mforall{}f,g:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
            ((\mforall{}x,y:I\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n.  ((f  x)  =  (g  x)))
            {}\mRightarrow{}  (inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  =  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(g  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}))
11.  \mforall{}f,g:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
            ((\mforall{}x,y:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n  -  1.  ((f  x)  =  (g  x)))
            {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  f)  =  (infn(n  -  1;I)  g)))
12.  \mforall{}a,b:I\^{}n.    (req-vec(n;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))
13.  inf(infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))(x\mmember{}I))  =  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x))  |  x  \mmember{}  I\}
14.  inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  \mleq{}  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++x  (n  -  1))))
15.  \mforall{}z,y:\{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  I\}  .    ((z  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z)))  =  (infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++y))))\000C)
\mvdash{}  req-vec(n;x++x  (n  -  1);x)


By

---

Latex:
(D  0  THENA  Auto)

---

Home Index