---

Step * 1 1 1 1 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
7. k : ℕ+
8. h : ℕ ⟶ 𝔹
9. g : ℕ ⟶ 𝔹
10. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|
⊢ a < b
BY
{ (Unfold `real-sfun` 6
   THEN (Assert ⌜∃x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . x ≠ y⌝⋅
         THENA ((InstConcl [⌜cantor-to-interval(a;b;h)⌝;⌜cantor-to-interval(a;b;g)⌝]⋅ THEN Auto) THEN BackThruSomeHyp)
         )
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
7. k : ℕ+
8. h : ℕ ⟶ 𝔹
9. g : ℕ ⟶ 𝔹
10. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|
⊢ f cantor-to-interval(a;b;h) ≠ f cantor-to-interval(a;b;g)

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  (f x ≠ f y ⇒ x ≠ y)
7. k : ℕ+
8. h : ℕ ⟶ 𝔹
9. g : ℕ ⟶ 𝔹
10. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;h) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|
11. ∃x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . x ≠ y
⊢ a < b

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  real-sfun(f;a;b)
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
9.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
10.  4  <  |(f  cantor-to-interval(a;b;h)  (4  *  k))  -  f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k)|
\mvdash{}  a  <  b


By

---

Latex:
(Unfold  `real-sfun`  6
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  x  \mneq{}  y\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  ((InstConcl  [\mkleeneopen{}cantor-to-interval(a;b;h)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cantor-to-interval(a;b;g)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  BackThruSomeHyp
                            )
              )
  )

---

Home Index