---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. k : ℕ+
7. ∀F:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ. ∃n:ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
8. n : ℕ
9. ∀f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹.
     ((f@0 = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((f cantor-to-interval(a;b;f@0) (2 * k)) = (f cantor-to-interval(a;b;g) (2 * k)) ∈ ℤ))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
BY
{ ((RenameVar `m' (-2) THEN (Evaluate ⌜n = m ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)) THEN Eliminate ⌜m⌝⋅ THEN ThinVar `m') }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. a < b
5. f : [a, b] ⟶ℝ
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
7. k : ℕ+
8. ∀F:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ. ∃n:ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
9. ∀f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹.
     ((f@0 = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((f cantor-to-interval(a;b;f@0) (2 * k)) = (f cantor-to-interval(a;b;g) (2 * k)) ∈ ℤ))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}f@0,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((f@0  =  g)
          {}\mRightarrow{}  ((f  cantor-to-interval(a;b;f@0)  (2  *  k))  =  (f  cantor-to-interval(a;b;g)  (2  *  k))))
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
((RenameVar  `m'  (-2)  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}n  =  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  ThinVar  `m')

---

Home Index