---

Step * 2 1 1 of Lemma partition-lemma


1. e : ℝ@i
2. r0 < e
3. n : ℤ@i
4. 0 < n
5. ∀f:ℕn ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1) supposing ∀i:ℕn - 1. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
6. f : ℕn + 1 ⟶ ℝ@i
7. ∀i:ℕn. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
8. x : ℝ@i
9. f 0≤x≤f n
10. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1)
11. ((f (n - 1)) - e) < x
⊢ ∃i:ℕn + 1. (|x - f i| ≤ e)
BY
{ (((InstLemma `rless-cases` [⌜f (n - 1)⌝; ⌜(f (n - 1)) + e⌝; ⌜x⌝])⋅
    THENA (Auto THEN nRSubtract ⌜f (n - 1)⌝ 0⋅ THEN Auto)
    )
   THEN D -1
   )⋅ }

1
1. e : ℝ@i
2. r0 < e
3. n : ℤ@i
4. 0 < n
5. ∀f:ℕn ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1) supposing ∀i:ℕn - 1. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
6. f : ℕn + 1 ⟶ ℝ@i
7. ∀i:ℕn. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
8. x : ℝ@i
9. f 0≤x≤f n
10. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1)
11. ((f (n - 1)) - e) < x
12. (f (n - 1)) < x
⊢ ∃i:ℕn + 1. (|x - f i| ≤ e)

2
1. e : ℝ@i
2. r0 < e
3. n : ℤ@i
4. 0 < n
5. ∀f:ℕn ⟶ ℝ. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1) supposing ∀i:ℕn - 1. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
6. f : ℕn + 1 ⟶ ℝ@i
7. ∀i:ℕn. r0≤(f (i + 1)) - f i≤e
8. x : ℝ@i
9. f 0≤x≤f n
10. ∀x:ℝ. ∃i:ℕn. (|x - f i| ≤ e) supposing f 0≤x≤f (n - 1)
11. ((f (n - 1)) - e) < x
12. x < ((f (n - 1)) + e)
⊢ ∃i:ℕn + 1. (|x - f i| ≤ e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  \mBbbR{}@i
2.  r0  <  e
3.  n  :  \mBbbZ{}@i
4.  0  <  n
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
          \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (|x  -  f  i|  \mleq{}  e)  supposing  f  0\mleq{}x\mleq{}f  (n  -  1) 
          supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  r0\mleq{}(f  (i  +  1))  -  f  i\mleq{}e
6.  f  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  r0\mleq{}(f  (i  +  1))  -  f  i\mleq{}e
8.  x  :  \mBbbR{}@i
9.  f  0\mleq{}x\mleq{}f  n
10.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (|x  -  f  i|  \mleq{}  e)  supposing  f  0\mleq{}x\mleq{}f  (n  -  1)
11.  ((f  (n  -  1))  -  e)  <  x
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}n  +  1.  (|x  -  f  i|  \mleq{}  e)


By

---

Latex:
(((InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}f  (n  -  1)\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}(f  (n  -  1))  +  e\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}])\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  nRSubtract  \mkleeneopen{}f  (n  -  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
    )
  THEN  D  -1
  )\mcdot{}

---

Home Index