---

Step * 2 1 1 of Lemma proper-continuous-implies-functional


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. iproper(I)
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. a = b
7. m : ℕ+
8. icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m)) ∧ (a ∈ i-approx(I;m))
9. ∀n:ℕ+
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
⊢ ∀m:ℕ+. (|f[a] - f[b]| ≤ (r1/r(m)))
BY
{ (ParallelLast
   THEN D -1
   THEN Unhide
   THEN Auto
   THEN InstHyp [⌜a⌝;⌜b⌝] (-1)⋅
   THEN Auto
   THEN ((RWO "6<" 0 THEN Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto)
   THEN Subst' -0 ~ 0 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  iproper(I)
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  a  =  b
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  icompact(i-approx(I;m))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;m))  \mwedge{}  (a  \mmember{}  i-approx(I;m))
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
\mvdash{}  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|f[a]  -  f[b]|  \mleq{}  (r1/r(m)))


By

---

Latex:
(ParallelLast
  THEN  D  -1
  THEN  Unhide
  THEN  Auto
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  ((RWO  "6<"  0  THEN  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto)
  THEN  Subst'  -0  \msim{}  0  0
  THEN  Auto)

---

Home Index