---

Step * 2 1 1 1 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. x1 : {x:ℝ^n| x ≠ p} 
10. x2 : {x:ℝ^n| x ≠ p} 
⊢ x1 ≡ x2
⇒ p + quadratic1(||x1 - p||^2;r(2) * p⋅x1 - p;||p||^2 - r1^2)*x1 - p ≡ p + quadratic1(||x2 - p||^2;r(2)
   * p⋅x2 - p;||p||^2 - r1^2)*x2 - p
BY
{ ((InstHyp [⌜x1⌝] 7⋅ THENA Auto) THEN (D 7 With ⌜x2⌝  THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
8. x1 : {x:ℝ^n| x ≠ p} 
9. x2 : {x:ℝ^n| x ≠ p} 
10. (r0 ≤ (((r(2) * p⋅x1 - p) * r(2) * p⋅x1 - p) - r(4) * ||x1 - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
∧ (r0 < ||x1 - p||^2)
∧ (||p + quadratic1(||x1 - p||^2;r(2) * p⋅x1 - p;||p||^2 - r1^2)*x1 - p|| = r1)
11. (r0 ≤ (((r(2) * p⋅x2 - p) * r(2) * p⋅x2 - p) - r(4) * ||x2 - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
∧ (r0 < ||x2 - p||^2)
∧ (||p + quadratic1(||x2 - p||^2;r(2) * p⋅x2 - p;||p||^2 - r1^2)*x2 - p|| = r1)
⊢ x1 ≡ x2
⇒ p + quadratic1(||x1 - p||^2;r(2) * p⋅x1 - p;||p||^2 - r1^2)*x1 - p ≡ p + quadratic1(||x2 - p||^2;r(2)
   * p⋅x2 - p;||p||^2 - r1^2)*x2 - p

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  ||b||  =  r1
7.  \mforall{}q:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
          ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  *  r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  -  r(4)  *  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r1\^{}2)))
          \mwedge{}  (r0  <  ||q  -  p||\^{}2)
          \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p||  =  r1))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  .  x  \mneq{}  p
9.  x1  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
10.  x2  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
\mvdash{}  x1  \mequiv{}  x2
{}\mRightarrow{}  p  +  quadratic1(||x1  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}x1  -  p;||p||\^{}2 
      -  r1\^{}2)*x1  -  p  \mequiv{}  p  +  quadratic1(||x2  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}x2  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*x2  -  p


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (D  7  With  \mkleeneopen{}x2\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index