---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
7. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
8. ↓∃m:{1...}. (↑((λn.((a (2 * n)) + 4 ≤z b (2 * n) ∧b fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>\000C])) <z 0)) m))
⊢ ∃n:ℕ+. ((ratreal(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0) ∧ (((a (2 * n)) + 4) ≤ (b (2 *\000C n))))
BY
{ ((D 0 With ⌜mu-ge(λn.((a (2 * n)) + 4 ≤z b (2 * n) ∧b fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n\000C>])) <z 0);1)⌝  THENW (D 8 THEN Auto))
   THEN (GenConcl ⌜mu-ge(λn.((a (2 * n)) + 4 ≤z b (2 * n) ∧b fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, \000C4 * n>])) <z 0);1) = N ∈ ℕ+⌝⋅
         THENW (D 8 THEN Auto)
         )
   THEN D -3
   THEN (Unhide THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
7. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
8. ∃m:{1...}. (↑((λn.((a (2 * n)) + 4 ≤z b (2 * n) ∧b fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>]\000C)) <z 0)) m))
9. N : ℕ+
10. mu-ge(λn.((a (2 * n)) + 4 ≤z b (2 * n) ∧b fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) <z 0)\000C;1) = N ∈ ℕ+
⊢ (ratreal(ratmul(f[<(a (2 * N)) + 2, 4 * N>];f[<(b (2 * N)) - 2, 4 * N>])) < r0) ∧ (((a (2 * N)) + 4) ≤ (b (2 * N)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
8.  \mdownarrow{}\mexists{}m:\{1...\}
          (\muparrow{}((\mlambda{}n.((a  (2  *  n))  +  4  \mleq{}z  b  (2  *  n)  \mwedge{}\msubb{}  fst(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -\000C  2,  4  *  n>]))  <z  0))  m))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <  r0)  \mwedge{}  (((a  (2  \000C*  n))  +  4)  \mleq{}  (b  (2  *  n))))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}mu-ge(\mlambda{}n.((a  (2  *  n))  +  4  \mleq{}z  b  (2  *  n)
                                          \mwedge{}\msubb{}  fst(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <z  0);1\000C)\mkleeneclose{} 
    THENW  (D  8  THEN  Auto)
    )
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}mu-ge(\mlambda{}n.((a  (2  *  n))  +  4  \mleq{}z  b  (2  *  n)
                                                    \mwedge{}\msubb{}  fst(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <z\000C  0);1)
                                  =  N\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENW  (D  8  THEN  Auto)
              )
  THEN  D  -3
  THEN  (Unhide  THENA  Auto))

---

Home Index