---

Step * 1 2 1 1 of Lemma rational-IVT

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ra : ℤ × ℕ+
7. rb : ℤ × ℕ+
8. a ≤ ratreal(ra)
9. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
10. ratreal(rb) ≤ b
11. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
⊢ ((ratreal(f[ra]) ≤ r0) ∧ (r0 ≤ ratreal(f[rb]))) ∨ ((ratreal(f[rb]) ≤ r0) ∧ (r0 ≤ ratreal(f[ra])))
BY
{ (((RW (AddrC [1] ratreal_pushdownC) (-1) THENA Auto)
    THEN (InstLemma `rmul-is-negative` [⌜ratreal(f[ra])⌝;⌜ratreal(f[rb])⌝]⋅ THENA Auto)
    )
   THEN (InstLemma `rat-zero-cases` [⌜f[rb]⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN D -1
   THEN Unhide
   THEN Auto
   THEN D 15
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. (ratreal(f[ra]) * ratreal(f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) < r0
16. ratreal(f[rb]) ≤ r0
17. ratreal(f[rb]) ≤ r0
⊢ r0 ≤ ratreal(f[ra])

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. (ratreal(f[ra]) * ratreal(f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) < r0
16. ratreal(f[rb]) ≤ r0
17. ratreal(f[rb]) ≤ r0
⊢ r0 ≤ ratreal(f[ra])

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
9.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
10.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
11.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
\mvdash{}  ((ratreal(f[ra])  \mleq{}  r0)  \mwedge{}  (r0  \mleq{}  ratreal(f[rb])))  \mvee{}  ((ratreal(f[rb])  \mleq{}  r0)  \mwedge{}  (r0  \mleq{}  ratreal(f[ra])))


By

---

Latex:
(((RW  (AddrC  [1]  ratreal\_pushdownC)  (-1)  THENA  Auto)
    THEN  (InstLemma  `rmul-is-negative`  [\mkleeneopen{}ratreal(f[ra])\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}ratreal(f[rb])\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
    )
  THEN  (InstLemma  `rat-zero-cases`  [\mkleeneopen{}f[rb]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  D  -1
  THEN  Unhide
  THEN  Auto
  THEN  D  15
  THEN  Auto)

---

Home Index