---

Step * 1 2 1 2 1 3 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ra : ℤ × ℕ+
7. rb : ℤ × ℕ+
8. a ≤ ratreal(ra)
9. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
10. ratreal(rb) ≤ b
11. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
12. (ratreal(f[ra]) ≤ r0) ∧ (r0 ≤ ratreal(f[rb]))
13. rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ {c:ℝ| (c ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]) ∧ (g[c] = r0)} 
⊢ ∃c:{c:ℝ| c ∈ (a, b)}  [(g[c] = r0)]
BY
{ (D 0 With ⌜rational-fun-zero(f;ra;rb)⌝ 
   THEN (((MemTypeHD (-1) THENA Auto)
          THEN ((MemTypeCD THEN All Reduce THEN Auto) ORELSE (Unhide THEN All Reduce THEN Auto))
          )
        ORELSE Auto
        )
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
⊢ a < rational-fun-zero(f;ra;rb)

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
21. a < rational-fun-zero(f;ra;rb)
⊢ rational-fun-zero(f;ra;rb) < b

3
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ {c:ℝ| (c ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]) ∧ (g[c] = r0)} 
18. c : {c:ℝ| c ∈ (a, b)} 
⊢ c ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
9.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
10.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
11.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
12.  (ratreal(f[ra])  \mleq{}  r0)  \mwedge{}  (r0  \mleq{}  ratreal(f[rb]))
13.  rational-fun-zero(f;ra;rb)  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  [ratreal(ra),  ratreal(rb)])  \mwedge{}  (g[c]  =  r0)\} 
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  c  \mmember{}  (a,  b)\}    [(g[c]  =  r0)]


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}rational-fun-zero(f;ra;rb)\mkleeneclose{} 
  THEN  (((MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  ((MemTypeCD  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)  ORELSE  (Unhide  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
                )
            ORELSE  Auto
            )
  )

---

Home Index