---

Step * 1 2 1 2 1 3 1 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
⊢ a < rational-fun-zero(f;ra;rb)
BY
{ ((Assert g[a] ≠ r0 BY
          ((Assert r0 < (-(g[a]) * g[b]) BY Auto) THEN (RWO "rmul-is-positive" (-1) THENA Auto) THEN D -1 THEN Auto))
   THEN (InstLemma `function-values-near-same-sign` [⌜[a, b]⌝;⌜g⌝;⌜a⌝]⋅
         THENA (Auto THEN BLemma `rabs-positive-iff` THEN Auto)
         )
   THEN D -1
   THEN (Assert ¬(|a - rational-fun-zero(f;ra;rb)| ≤ d) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN (InstHyp [⌜rational-fun-zero(f;ra;rb)⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
                THEN (D -1 THEN D -6)
                THEN ThinTrivial
                THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. (((a ≤ ratreal(r)) ∧ (ratreal(r) ≤ b)) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[ra]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[rb])
17. rational-fun-zero(f;ra;rb) = rational-fun-zero(f;ra;rb) ∈ ℝ
18. ratreal(ra) ≤ rational-fun-zero(f;ra;rb)
19. rational-fun-zero(f;ra;rb) ≤ ratreal(rb)
20. g[rational-fun-zero(f;ra;rb)] = r0
21. g[a] ≠ r0
22. d : {d:ℝ| r0 < d} 
23. ∀y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((|a - y| ≤ d) ⇒ ((r0 < g[a] ⇐⇒ r0 < g[y]) ∧ (g[a] < r0 ⇐⇒ g[y] < r0)))
24. ¬(|a - rational-fun-zero(f;ra;rb)| ≤ d)
⊢ a < rational-fun-zero(f;ra;rb)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  (((a  \mleq{}  ratreal(r))  \mwedge{}  (ratreal(r)  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
12.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
13.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
14.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
15.  ratreal(f[ra])  \mleq{}  r0
16.  r0  \mleq{}  ratreal(f[rb])
17.  rational-fun-zero(f;ra;rb)  =  rational-fun-zero(f;ra;rb)
18.  ratreal(ra)  \mleq{}  rational-fun-zero(f;ra;rb)
19.  rational-fun-zero(f;ra;rb)  \mleq{}  ratreal(rb)
20.  g[rational-fun-zero(f;ra;rb)]  =  r0
\mvdash{}  a  <  rational-fun-zero(f;ra;rb)


By

---

Latex:
((Assert  g[a]  \mneq{}  r0  BY
                ((Assert  r0  <  (-(g[a])  *  g[b])  BY
                                Auto)
                  THEN  (RWO  "rmul-is-positive"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `function-values-near-same-sign`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  BLemma  `rabs-positive-iff`  THEN  Auto)
              )
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  \mneg{}(|a  -  rational-fun-zero(f;ra;rb)|  \mleq{}  d)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}rational-fun-zero(f;ra;rb)\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  (D  -1  THEN  D  -6)
                            THEN  ThinTrivial
                            THEN  Auto)))

---

Home Index