---

Step * 1 2 1 2 2 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ra : ℤ × ℕ+
7. rb : ℤ × ℕ+
8. a ≤ ratreal(ra)
9. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
10. ratreal(rb) ≤ b
11. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
12. (ratreal(f[rb]) ≤ r0) ∧ (r0 ≤ ratreal(f[ra]))
⊢ ∃c:{c:ℝ| c ∈ (a, b)}  [(g[c] = r0)]
BY
{ (InstLemma `rational-fun-zero_wf` [⌜ra⌝;⌜rb⌝;⌜λ2x.int-rat-mul(-1;f[x])⌝;⌜λ2x.-(g[x])⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ∀x:ℝ. (x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)] ∈ Type)
18. x : ℝ
19. x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]
⊢ x ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
⊢ ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0

3
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
18. ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0
⊢ r0 ≤ ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))

4
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
18. ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0
19. r0 ≤ ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))
20. x : {x:ℝ| x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]} 
21. y : {x:ℝ| x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]} 
22. x = y
⊢ -(g[x]) = -(g[y])

5
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
18. ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0
19. r0 ≤ ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))
20. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]} .  ((x = y) ⇒ (-(g[x]) = -(g[y])))
21. r : ℤ × ℕ+
22. ratreal(r) ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]
⊢ -(g[ratreal(r)]) = ratreal(int-rat-mul(-1;f[r]))

6
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ra : ℤ × ℕ+
7. rb : ℤ × ℕ+
8. a ≤ ratreal(ra)
9. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
10. ratreal(rb) ≤ b
11. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
12. (ratreal(f[rb]) ≤ r0) ∧ (r0 ≤ ratreal(f[ra]))
13. rational-fun-zero(λ2x.int-rat-mul(-1;f[x]);ra;rb) ∈ {c:ℝ| (c ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]) ∧ (-(g[c]) = r0)} 
⊢ ∃c:{c:ℝ| c ∈ (a, b)}  [(g[c] = r0)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
9.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
10.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
11.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
12.  (ratreal(f[rb])  \mleq{}  r0)  \mwedge{}  (r0  \mleq{}  ratreal(f[ra]))
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  c  \mmember{}  (a,  b)\}    [(g[c]  =  r0)]


By

---

Latex:
(InstLemma  `rational-fun-zero\_wf`  [\mkleeneopen{}ra\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}rb\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.int-rat-mul(-1;f[x])\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.-(g[x])\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index