---

Step * 1 2 1 2 2 5 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
18. ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0
19. r0 ≤ ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))
20. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]} .  ((x = y) ⇒ (-(g[x]) = -(g[y])))
21. r : ℤ × ℕ+
22. ratreal(r) ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]
⊢ -(g[ratreal(r)]) = ratreal(int-rat-mul(-1;f[r]))
BY
{ ((Assert ratreal(r) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  BY
          (All Reduce THEN Auto))
   THEN RW ratreal_pushdownC 0
   THEN Auto
   THEN RWO "int-rmul-req" 0
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ra : ℤ × ℕ+
10. rb : ℤ × ℕ+
11. a ≤ ratreal(ra)
12. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
13. ratreal(rb) ≤ b
14. ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0
15. ratreal(f[rb]) ≤ r0
16. r0 ≤ ratreal(f[ra])
17. ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)
18. ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra])) ≤ r0
19. r0 ≤ ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))
20. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]} .  ((x = y) ⇒ (-(g[x]) = -(g[y])))
21. r : ℤ × ℕ+
22. ratreal(r) ∈ [ratreal(ra), ratreal(rb)]
23. ratreal(r) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
⊢ -(g[ratreal(r)]) = (r(-1) * ratreal(f[r]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  a  <  b
6.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
8.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
9.  ra  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  rb  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  a  \mleq{}  ratreal(ra)
12.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
13.  ratreal(rb)  \mleq{}  b
14.  ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0
15.  ratreal(f[rb])  \mleq{}  r0
16.  r0  \mleq{}  ratreal(f[ra])
17.  ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb)
18.  ratreal(int-rat-mul(-1;f[ra]))  \mleq{}  r0
19.  r0  \mleq{}  ratreal(int-rat-mul(-1;f[rb]))
20.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [ratreal(ra),  ratreal(rb)]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (-(g[x])  =  -(g[y])))
21.  r  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  ratreal(r)  \mmember{}  [ratreal(ra),  ratreal(rb)]
\mvdash{}  -(g[ratreal(r)])  =  ratreal(int-rat-mul(-1;f[r]))


By

---

Latex:
((Assert  ratreal(r)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    BY
                (All  Reduce  THEN  Auto))
  THEN  RW  ratreal\_pushdownC  0
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "int-rmul-req"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index