---

Step * 1 1 1 2 2 of Lemma rpositive-rmul


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. n1 : ℕ+
4. ∀m:ℕ+. ((n1 ≤ m) ⇒ (m ≤ (n1 * (x m))))
5. n : ℕ+
6. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (y m))))
7. B : ℕ+
8. (2 * n) ≤ B
9. (2 * n1) ≤ B
10. m : ℕ+
11. (B * B) ≤ m
12. (B * 1) ≤ (B * B)
13. (2 * m) ≤ (B * (x m))
14. (2 * m) ≤ (B * (y m))
⊢ m ≤ ((B * B) * (reg-seq-mul(x;y) m))
BY
{ (RepUR ``reg-seq-mul`` 0
   THEN (Using [`n',⌜2 * m⌝] (BLemma `mul_cancel_in_le`)⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst' (2 * m) * (B * B) * (((x m) * (y m)) ÷ 2 * m) ~ (B * B) * (2 * m) * (((x m) * (y m)) ÷ 2 * m) 0
         THENA Auto
         )
   THEN (RWO "div_rem_sum2" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "left_mul_subtract_distrib" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. n1 : ℕ+
4. ∀m:ℕ+. ((n1 ≤ m) ⇒ (m ≤ (n1 * (x m))))
5. n : ℕ+
6. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (y m))))
7. B : ℕ+
8. (2 * n) ≤ B
9. (2 * n1) ≤ B
10. m : ℕ+
11. (B * B) ≤ m
12. (B * 1) ≤ (B * B)
13. (2 * m) ≤ (B * (x m))
14. (2 * m) ≤ (B * (y m))
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
⊢ ((2 * m) * m) ≤ (((B * B) * (x m) * (y m)) - (B * B) * r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  n1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((n1  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (n1  *  (x  m))))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (n  *  (y  m))))
7.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (2  *  n)  \mleq{}  B
9.  (2  *  n1)  \mleq{}  B
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (B  *  B)  \mleq{}  m
12.  (B  *  1)  \mleq{}  (B  *  B)
13.  (2  *  m)  \mleq{}  (B  *  (x  m))
14.  (2  *  m)  \mleq{}  (B  *  (y  m))
\mvdash{}  m  \mleq{}  ((B  *  B)  *  (reg-seq-mul(x;y)  m))


By

---

Latex:
(RepUR  ``reg-seq-mul``  0
  THEN  (Using  [`n',\mkleeneopen{}2  *  m\mkleeneclose{}]  (BLemma  `mul\_cancel\_in\_le`)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (2  *  m)  *  (B  *  B)  *  (((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m)  \msim{}  (B  *  B)
              *  (2  *  m)
              *  (((x  m)  *  (y  m))  \mdiv{}  2  *  m)  0
              THENA  Auto
              )
  THEN  (RWO  "div\_rem\_sum2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "left\_mul\_subtract\_distrib"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((x  m)  *  (y  m)  rem  2  *  m)  =  r\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index