---

Step * 2 1 2 1 1 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
18. x⋅x = r1^2
19. x⋅b = b⋅x
20. (r(2) * b⋅x) = cc
⊢ (b⋅b + r1^2 + -(r2^2)) = (r(2) * b⋅x)
BY
{ (RWO "real-vec-norm-squared< -1" 0 THENA Auto) }

1
1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
18. x⋅x = r1^2
19. x⋅b = b⋅x
20. (r(2) * b⋅x) = cc
⊢ (||b||^2 + r1^2 + -(r2^2)) = cc

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
17.  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b')  \mvee{}  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b')
18.  x\mcdot{}x  =  r1\^{}2
19.  x\mcdot{}b  =  b\mcdot{}x
20.  (r(2)  *  b\mcdot{}x)  =  cc
\mvdash{}  (b\mcdot{}b  +  r1\^{}2  +  -(r2\^{}2))  =  (r(2)  *  b\mcdot{}x)


By

---

Latex:
(RWO  "real-vec-norm-squared<  -1"  0  THENA  Auto)

---

Home Index