---

Step * 2 1 1 1 of Lemma rv-inner-Pasch3


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. (r0 ≤ s) ∧ (s ≤ r1)
14. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
15. t : ℝ
16. (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)
17. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
⊢ ∃x:ℝ^n
   (rv-T(n;a;x;q)
   ∧ rv-T(n;b;x;p)
   ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
   ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
   ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
   ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p))
BY
{ ((Assert s < r1 BY
          ((InstLemma `real-vec-dist-between-1` [⌜n⌝;⌜a⌝;⌜c⌝;⌜s⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN (RWO "-5<" (-1) THENA Auto)
           THEN Unfold `real-vec-sep` 7
           THEN (RWO  "-1" 7 THENA Auto)
           THEN (RWO  "rmul-is-positive" (-1) THENA Auto)
           THEN (RepeatFor 2 (D -1)
                 THENL [((RWO "rabs-of-nonneg" (-2) THENA (Auto THEN nRAdd ⌜s⌝ 0⋅ THEN Auto))
                         THEN nRAdd ⌜s⌝ (-2)⋅
                         THEN Auto)
                       ; ((Assert r0 ≤ |r1 - s| BY Auto) THEN Auto)]
           )))
   THEN ExRepD
   ) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 ≤ s
14. s ≤ r1
15. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
16. t : ℝ
17. r0 ≤ t
18. t ≤ r1
19. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
20. s < r1
⊢ ∃x:ℝ^n
   (rv-T(n;a;x;q)
   ∧ rv-T(n;b;x;p)
   ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
   ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
   ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
   ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  a  \mneq{}  p
8.  b  \mneq{}  c
9.  (\mneg{}b  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}q  \mneq{}  c)
10.  \mneg{}(p  \mneq{}  c  \mwedge{}  (\mneg{}a-p-c))
11.  a  \mneq{}  c
12.  s  :  \mBbbR{}
13.  (r0  \mleq{}  s)  \mwedge{}  (s  \mleq{}  r1)
14.  req-vec(n;p;s*a  +  r1  -  s*c)
15.  t  :  \mBbbR{}
16.  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)
17.  req-vec(n;q;t*b  +  r1  -  t*c)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}n
      (rv-T(n;a;x;q)
      \mwedge{}  rv-T(n;b;x;p)
      \mwedge{}  (a  \mneq{}  q  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  a)
      \mwedge{}  ((a  \mneq{}  q  \mwedge{}  p  \mneq{}  c  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  q)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  b)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  q  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  p))


By

---

Latex:
((Assert  s  <  r1  BY
                ((InstLemma  `real-vec-dist-between-1`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "-5<"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  Unfold  `real-vec-sep`  7
                  THEN  (RWO    "-1"  7  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO    "rmul-is-positive"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  (RepeatFor  2  (D  -1)
                              THENL  [((RWO  "rabs-of-nonneg"  (-2)  THENA  (Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
                                              THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}
                                              THEN  Auto)
                                          ;  ((Assert  r0  \mleq{}  |r1  -  s|  BY  Auto)  THEN  Auto)]
                  )))
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index