---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma rv-inner-Pasch3


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 ≤ s
14. s ≤ r1
15. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
16. t : ℝ
17. r0 ≤ t
18. t ≤ r1
19. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
20. s < r1
⊢ ∃x:ℝ^n
   (rv-T(n;a;x;q)
   ∧ rv-T(n;b;x;p)
   ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
   ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
   ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
   ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p))
BY
{ (Assert r0 < (r1 - s * t) BY
         ((nRAdd ⌜s * t⌝ 0⋅ THEN Auto)
          THEN (RWO "rmul_comm" 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "-3" 0 THEN Auto)
          THEN nRNorm 0
          THEN Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 ≤ s
14. s ≤ r1
15. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
16. t : ℝ
17. r0 ≤ t
18. t ≤ r1
19. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
20. s < r1
21. r0 < (r1 - s * t)
⊢ ∃x:ℝ^n
   (rv-T(n;a;x;q)
   ∧ rv-T(n;b;x;p)
   ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
   ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
   ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
   ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  a  \mneq{}  p
8.  b  \mneq{}  c
9.  (\mneg{}b  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}q  \mneq{}  c)
10.  \mneg{}(p  \mneq{}  c  \mwedge{}  (\mneg{}a-p-c))
11.  a  \mneq{}  c
12.  s  :  \mBbbR{}
13.  r0  \mleq{}  s
14.  s  \mleq{}  r1
15.  req-vec(n;p;s*a  +  r1  -  s*c)
16.  t  :  \mBbbR{}
17.  r0  \mleq{}  t
18.  t  \mleq{}  r1
19.  req-vec(n;q;t*b  +  r1  -  t*c)
20.  s  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}n
      (rv-T(n;a;x;q)
      \mwedge{}  rv-T(n;b;x;p)
      \mwedge{}  (a  \mneq{}  q  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  a)
      \mwedge{}  ((a  \mneq{}  q  \mwedge{}  p  \mneq{}  c  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  q)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  b)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  q  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  p))


By

---

Latex:
(Assert  r0  <  (r1  -  s  *  t)  BY
              ((nRAdd  \mkleeneopen{}s  *  t\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
                THEN  (RWO  "rmul\_comm"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "-3"  0  THEN  Auto)
                THEN  nRNorm  0
                THEN  Auto))

---

Home Index