---

Step * 1 1 1 1 of Lemma rv-inner-Pasch


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. t : ℝ
8. r0 < t
9. t < r1
10. req-vec(n;p;t*a + r1 - t*c)
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 < s
14. s < r1
15. req-vec(n;q;s*b + r1 - s*c)
16. b ≠ c
17. (s * t) < s
18. r0 < (r1 - s * t)
19. (s * t) < t
20. (t - s * t/r1 - s * t) ∈ (r0, r1)
21. (s - s * t/r1 - s * t) ∈ (r0, r1)
⊢ ∃x:ℝ^n. ((a ≠ q ⇒ a-x-q) ∧ (b ≠ p ⇒ b-x-p))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜(t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ((r1 - u) * s) = v BY
               ((RWO "-1< -3<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))
   THEN (Assert ((r1 - v) * t) = u BY
               ((RWO "-2< -4<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. t : ℝ
8. r0 < t
9. t < r1
10. req-vec(n;p;t*a + r1 - t*c)
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 < s
14. s < r1
15. req-vec(n;q;s*b + r1 - s*c)
16. b ≠ c
17. (s * t) < s
18. r0 < (r1 - s * t)
19. (s * t) < t
20. u : ℝ
21. (t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ
22. v : ℝ
23. (s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ
24. ((r1 - u) * s) = v
25. ((r1 - v) * t) = u
⊢ (u ∈ (r0, r1)) ⇒ (v ∈ (r0, r1)) ⇒ (∃x:ℝ^n. ((a ≠ q ⇒ a-x-q) ∧ (b ≠ p ⇒ b-x-p)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  t  :  \mBbbR{}
8.  r0  <  t
9.  t  <  r1
10.  req-vec(n;p;t*a  +  r1  -  t*c)
11.  a  \mneq{}  c
12.  s  :  \mBbbR{}
13.  r0  <  s
14.  s  <  r1
15.  req-vec(n;q;s*b  +  r1  -  s*c)
16.  b  \mneq{}  c
17.  (s  *  t)  <  s
18.  r0  <  (r1  -  s  *  t)
19.  (s  *  t)  <  t
20.  (t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  (r0,  r1)
21.  (s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  (r0,  r1)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}n.  ((a  \mneq{}  q  {}\mRightarrow{}  a-x-q)  \mwedge{}  (b  \mneq{}  p  {}\mRightarrow{}  b-x-p))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  u\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ((r1  -  u)  *  s)  =  v  BY
                          ((RWO  "-1<  -3<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((r1  -  v)  *  t)  =  u  BY
                          ((RWO  "-2<  -4<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index