---

Step * 2 1 of Lemma sup-iff-closure


1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. x@0 : ℕ ⟶ ℝ
5. lim n→∞.x@0[n] = x
6. ∀n:ℕ. (A x@0[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
⊢ ∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))
BY
{ (RenameVar `z' 4
   THEN ∀h:hyp. (Unfold `converges-to` h
                 THEN ((InstHyp [⌜k⌝] h)⋅ THENA Auto)
                 THEN (D (-1) THEN UnhideSqStable' (-1))
                 THEN ((InstHyp [⌜N⌝] (-1))⋅ THENA Auto)
                 THEN (InstConcl [⌜z[N]⌝])⋅
                 THEN Auto) 
   )⋅ }

1
1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. z : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. (A z[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k))))
13. |z[N] - x| ≤ (r1/r(k))
⊢ z[N] ∈ A

2
1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. z : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k)))))])
6. ∀n:ℕ. (A z[n])
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. N : ℕ
12. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|z[n] - x| ≤ (r1/r(k))))
13. |z[N] - x| ≤ (r1/r(k))
14. z[N] ∈ A
⊢ (x - e) < z[N]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  A  \mleq{}  x
4.  x@0  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x@0[n]  =  x
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (A  x@0[n])
7.  e  :  \mBbbR{}
8.  r0  <  e
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  e
\mvdash{}  \mexists{}x@0:\mBbbR{}.  ((x@0  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  e)  <  x@0))


By

---

Latex:
(RenameVar  `z'  4
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (Unfold  `converges-to`  h
                              THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}]  h)\mcdot{}  THENA  Auto)
                              THEN  (D  (-1)  THEN  UnhideSqStable'  (-1))
                              THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}]  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
                              THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}z[N]\mkleeneclose{}])\mcdot{}
                              THEN  Auto) 
  )\mcdot{}

---

Home Index