---

Step * 1 1 1 1 of Lemma Cauchy-equation-1-iff


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) + f(y)))
4. ∀m:ℕ. ∀x:ℝ.  (f(r(m) * x) = (r(m) * f(x)))
5. f(r0) = r0
6. ∀m:ℕ. ∀x:ℕm ⟶ ℝ.  (f(Σ{x[i] | 0≤i≤m - 1}) = Σ{f(x[i]) | 0≤i≤m - 1})
7. ∀n:ℕ+. ∀x:ℝ.  (f((x/r(n))) = (f(x)/r(n)))
⊢ ∀x:ℝ. (f(x) = (x * f(r1)))
BY
{ ((Assert ∀n:ℕ+. ∀m:ℕ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1))) BY
          (Auto
           THEN (RWO "7" 0 THENA Auto)
           THEN (InstHyp [⌜m⌝;⌜r1⌝] 4⋅ THENA Auto)
           THEN nRNorm (-1)
           THEN (RWO "-1" 0 THEN Auto)
           THEN nRMul ⌜r(n)⌝ 0⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert ∀x:ℝ. (f(-(x)) = -(f(x))) BY
               (Auto
                THEN (InstHyp [⌜x⌝;⌜-(x)⌝] 3⋅ THENA Auto)
                THEN nRNorm (-1)
                THEN (RWO "5" (-1) THENA Auto)
                THEN nRAdd ⌜-(f(x))⌝ (-1)⋅
                THEN Auto))
   ) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) + f(y)))
4. ∀m:ℕ. ∀x:ℝ.  (f(r(m) * x) = (r(m) * f(x)))
5. f(r0) = r0
6. ∀m:ℕ. ∀x:ℕm ⟶ ℝ.  (f(Σ{x[i] | 0≤i≤m - 1}) = Σ{f(x[i]) | 0≤i≤m - 1})
7. ∀n:ℕ+. ∀x:ℝ.  (f((x/r(n))) = (f(x)/r(n)))
8. ∀n:ℕ+. ∀m:ℕ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1)))
9. ∀x:ℝ. (f(-(x)) = -(f(x)))
⊢ ∀x:ℝ. (f(x) = (x * f(r1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  +  y)  =  (f(x)  +  f(y)))
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.    (f(r(m)  *  x)  =  (r(m)  *  f(x)))
5.  f(r0)  =  r0
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.    (f(\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m  -  1\})  =  \mSigma{}\{f(x[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}m  -  1\})
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.    (f((x/r(n)))  =  (f(x)/r(n)))
\mvdash{}  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  (x  *  f(r1)))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}.    (f((r(m)/r(n)))  =  ((r(m)/r(n))  *  f(r1)))  BY
                (Auto
                  THEN  (RWO  "7"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  nRNorm  (-1)
                  THEN  (RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(n)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(-(x))  =  -(f(x)))  BY
                          (Auto
                            THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}-(x)\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  (-1)
                            THEN  (RWO  "5"  (-1)  THENA  Auto)
                            THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}-(f(x))\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index