---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Cauchy-equation-1-iff


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) + f(y)))
4. ∀m:ℕ. ∀x:ℝ.  (f(r(m) * x) = (r(m) * f(x)))
5. f(r0) = r0
6. ∀m:ℕ. ∀x:ℕm ⟶ ℝ.  (f(Σ{x[i] | 0≤i≤m - 1}) = Σ{f(x[i]) | 0≤i≤m - 1})
7. ∀n:ℕ+. ∀x:ℝ.  (f((x/r(n))) = (f(x)/r(n)))
8. ∀n:ℕ+. ∀m:ℕ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1)))
9. ∀x:ℝ. (f(-(x)) = -(f(x)))
⊢ ∀x:ℝ. (f(x) = (x * f(r1)))
BY
{ (Assert ∀n:ℕ+. ∀m:ℤ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1))) BY
         (Auto
          THEN ((Decide ⌜0 ≤ m⌝⋅ THENA Auto)
                THENL [BackThruSomeHyp; (Assert (r(m)/r(n)) = -((r(-m)/r(n))) BY (nRMul ⌜r(n)⌝ 0⋅ THEN Auto))]
          )
          THEN (RWW "-1 9" 0 THENA Auto)
          THEN RWO "8" 0
          THEN Auto)) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) + f(y)))
4. ∀m:ℕ. ∀x:ℝ.  (f(r(m) * x) = (r(m) * f(x)))
5. f(r0) = r0
6. ∀m:ℕ. ∀x:ℕm ⟶ ℝ.  (f(Σ{x[i] | 0≤i≤m - 1}) = Σ{f(x[i]) | 0≤i≤m - 1})
7. ∀n:ℕ+. ∀x:ℝ.  (f((x/r(n))) = (f(x)/r(n)))
8. ∀n:ℕ+. ∀m:ℕ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1)))
9. ∀x:ℝ. (f(-(x)) = -(f(x)))
10. ∀n:ℕ+. ∀m:ℤ.  (f((r(m)/r(n))) = ((r(m)/r(n)) * f(r1)))
⊢ ∀x:ℝ. (f(x) = (x * f(r1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  +  y)  =  (f(x)  +  f(y)))
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.    (f(r(m)  *  x)  =  (r(m)  *  f(x)))
5.  f(r0)  =  r0
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.    (f(\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m  -  1\})  =  \mSigma{}\{f(x[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}m  -  1\})
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.    (f((x/r(n)))  =  (f(x)/r(n)))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}.    (f((r(m)/r(n)))  =  ((r(m)/r(n))  *  f(r1)))
9.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(-(x))  =  -(f(x)))
\mvdash{}  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  (x  *  f(r1)))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\mBbbZ{}.    (f((r(m)/r(n)))  =  ((r(m)/r(n))  *  f(r1)))  BY
              (Auto
                THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}0  \mleq{}  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THENL  [BackThruSomeHyp
                                        ;  (Assert  (r(m)/r(n))  =  -((r(-m)/r(n)))  BY
                                                          (nRMul  \mkleeneopen{}r(n)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))]
                )
                THEN  (RWW  "-1  9"  0  THENA  Auto)
                THEN  RWO  "8"  0
                THEN  Auto))

---

Home Index