---

Step * 2 1 1 of Lemma Riemann-integral-additive


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. a ≤ c
6. c ≤ b
7. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
8. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
9. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
10. m : ℕ+
11. ifun(f;[a, b])
12. ifun(f;[a, c])
13. ifun(f;[c, b])
⊢ |∫ f[x] dx on [a, b] - ∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(m))
BY
{ (((InstLemma `Riemann-sums-converge-to` [⌜a⌝;⌜c⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜3 * m⌝  THENA Auto))
   THEN ((InstLemma `Riemann-sums-converge-to` [⌜c⌝;⌜b⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto) THEN (D -1 With ⌜3 * m⌝  THENA Auto))
   THEN (InstLemma `partition-sums-converge` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜f⌝;⌜(r1/r(3 * m))⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. a ≤ c
6. c ≤ b
7. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
8. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
9. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
10. m : ℕ+
11. ifun(f;[a, b])
12. ifun(f;[a, c])
13. ifun(f;[c, b])
14. N1 : ℕ
15. ∀k:ℕ. ((N1 ≤ k) ⇒ (|Riemann-sum(λx.f[x];a;c;k + 1) - ∫ f[x] dx on [a, c]| ≤ (r1/r(3 * m))))
16. N : ℕ
17. ∀k:ℕ. ((N ≤ k) ⇒ (|Riemann-sum(λx.f[x];c;b;k + 1) - ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(3 * m))))
18. d : {d:ℝ| r0 < d} 
19. ∀p:partition([a, b])
      ((partition-mesh([a, b];p) ≤ d)
      ⇒ (∀y:partition-choice(full-partition([a, b];p))
            (|S(λx.f[x];full-partition([a, b];p)) - ∫ f[x] dx on [a, b]| ≤ (r1/r(3 * m)))))
⊢ |∫ f[x] dx on [a, b] - ∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  a  \mleq{}  c
6.  c  \mleq{}  b
7.  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
8.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  \mmember{}  \mBbbR{}
9.  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]  \mmember{}  \mBbbR{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  ifun(f;[a,  b])
12.  ifun(f;[a,  c])
13.  ifun(f;[c,  b])
\mvdash{}  |\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]|  \mleq{}  (r1/r(m))


By

---

Latex:
(((InstLemma  `Riemann-sums-converge-to`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}3  *  m\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
    )
  THEN  ((InstLemma  `Riemann-sums-converge-to`  [\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
              THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}3  *  m\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
              )
  THEN  (InstLemma  `partition-sums-converge`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(r1/r(3  *  m))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index