---

Step * 2 1 1 1 of Lemma Riemann-integral-additive


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. a ≤ c
6. c ≤ b
7. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
8. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
9. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
10. m : ℕ+
11. ifun(f;[a, b])
12. ifun(f;[a, c])
13. ifun(f;[c, b])
14. N1 : ℕ
15. ∀k:ℕ. ((N1 ≤ k) ⇒ (|Riemann-sum(λx.f[x];a;c;k + 1) - ∫ f[x] dx on [a, c]| ≤ (r1/r(3 * m))))
16. N : ℕ
17. ∀k:ℕ. ((N ≤ k) ⇒ (|Riemann-sum(λx.f[x];c;b;k + 1) - ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(3 * m))))
18. d : {d:ℝ| r0 < d} 
19. ∀p:partition([a, b])
      ((partition-mesh([a, b];p) ≤ d)
      ⇒ (∀y:partition-choice(full-partition([a, b];p))
            (|S(λx.f[x];full-partition([a, b];p)) - ∫ f[x] dx on [a, b]| ≤ (r1/r(3 * m)))))
⊢ |∫ f[x] dx on [a, b] - ∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(m))
BY
{ All (RepUR  ``Riemann-sum let``) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. a ≤ c
6. c ≤ b
7. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
8. ∫ f[x] dx on [a, c] ∈ ℝ
9. ∫ f[x] dx on [c, b] ∈ ℝ
10. m : ℕ+
11. ifun(f;[a, b])
12. ifun(f;[a, c])
13. ifun(f;[c, b])
14. N1 : ℕ
15. ∀k:ℕ
      ((N1 ≤ k)
      ⇒ (|S(λx.f[x];full-partition([a, c];uniform-partition([a, c];k + 1))) - ∫ f[x] dx on [a, c]| ≤ (r1/r(3 * m))))
16. N : ℕ
17. ∀k:ℕ
      ((N ≤ k)
      ⇒ (|S(λx.f[x];full-partition([c, b];uniform-partition([c, b];k + 1))) - ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(3 * m))))
18. d : {d:ℝ| r0 < d} 
19. ∀p:partition([a, b])
      ((partition-mesh([a, b];p) ≤ d)
      ⇒ (∀y:partition-choice(full-partition([a, b];p))
            (|S(λx.f[x];full-partition([a, b];p)) - ∫ f[x] dx on [a, b]| ≤ (r1/r(3 * m)))))
⊢ |∫ f[x] dx on [a, b] - ∫ f[x] dx on [a, c] + ∫ f[x] dx on [c, b]| ≤ (r1/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  a  \mleq{}  c
6.  c  \mleq{}  b
7.  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
8.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  \mmember{}  \mBbbR{}
9.  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]  \mmember{}  \mBbbR{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  ifun(f;[a,  b])
12.  ifun(f;[a,  c])
13.  ifun(f;[c,  b])
14.  N1  :  \mBbbN{}
15.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  ((N1  \mleq{}  k)  {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(\mlambda{}x.f[x];a;c;k  +  1)  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]|  \mleq{}  (r1/r(3  *  m))))
16.  N  :  \mBbbN{}
17.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  k)  {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(\mlambda{}x.f[x];c;b;k  +  1)  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]|  \mleq{}  (r1/r(3  *  m))))
18.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
19.  \mforall{}p:partition([a,  b])
            ((partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];p))
                        (|S(\mlambda{}x.f[x];full-partition([a,  b];p))  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]|  \mleq{}  (r1/r(3  *  m)))))
\mvdash{}  |\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  -  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  c]  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [c,  b]|  \mleq{}  (r1/r(m))


By

---

Latex:
All  (RepUR    ``Riemann-sum  let``)

---

Home Index