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Step * 2 1 1 1 of Lemma Riemann-integral_functionality_endpoints


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. a' : ℝ
6. b' : ℝ
7. b = b'
8. a = a'
9. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
10. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, a'] + ∫ f[x] dx on [a', b])
12. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b])} 
13. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a, a'] ⟶ℝ| ifun(f;[a, a'])} 
14. ∫ f[x] dx on [a, a'] = r0
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']
BY
{ ((Assert ∫ f[x] dx on [a, a'] ∈ ℝ BY
          ((Assert λx.f[x] ∈ {f:[a, a'] ⟶ℝ| ifun(f;[a, a'])}  BY (DoSubsume THEN Trivial)) THEN Auto))
   THEN (Assert ∫ f[x] dx on [a', b] ∈ ℝ BY
               ((Assert λx.f[x] ∈ {f:[a', b] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b])}  BY (DoSubsume THEN Trivial)) THEN Auto))
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. a' : ℝ
6. b' : ℝ
7. b = b'
8. a = a'
9. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b'] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b'])} 
10. λx.f[x] ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. ∫ f[x] dx on [a, b] = (∫ f[x] dx on [a, a'] + ∫ f[x] dx on [a', b])
12. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a', b] ⟶ℝ| ifun(f;[a', b])} 
13. {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])}  ⊆r {f:[a, a'] ⟶ℝ| ifun(f;[a, a'])} 
14. ∫ f[x] dx on [a, a'] = r0
15. ∫ f[x] dx on [a, a'] ∈ ℝ
16. ∫ f[x] dx on [a', b] ∈ ℝ
⊢ ∫ f[x] dx on [a, b] = ∫ f[x] dx on [a', b']

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  a'  :  \mBbbR{}
6.  b'  :  \mBbbR{}
7.  b  =  b'
8.  a  =  a'
9.  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a',  b']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b'])\} 
10.  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
11.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  (\mint{}  f[x]  dx  on  [a,  a']  +  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b])
12.  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a',  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b])\} 
13.  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\}    \msubseteq{}r  \{f:[a,  a']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  a'])\} 
14.  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  a']  =  r0
\mvdash{}  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  b]  =  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b']


By

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Latex:
((Assert  \mint{}  f[x]  dx  on  [a,  a']  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                ((Assert  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a,  a']  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  a'])\}    BY  (DoSubsume  THEN  Trivial))  THEN  Auto)\000C)
  THEN  (Assert  \mint{}  f[x]  dx  on  [a',  b]  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          ((Assert  \mlambda{}x.f[x]  \mmember{}  \{f:[a',  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a',  b])\}    BY  (DoSubsume  THEN  Trivial))  THEN  \000CAuto))
  )

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