---

Step * 1 1 2 1 1 4 of Lemma arctangent-reduction


1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
7. d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(((r1 + (x * B)) * r1) - (x - B) * B/(r1 + (x * B))
* (r1 + (x * B))) on ((r(-1)/B), ∞)
⊢ d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2) on ((r(-1)/B), ∞)
BY
{ (Assert ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} 
            ((r0 < (r1 + (x1 * B))) ∧ (r0 < ((r1 + (x1 * B)) * (r1 + (x1 * B)))) ∧ (r0 < r1 + (x1 * B)^2)) BY
         (EAuto 1 THEN Try ((BLemma `rnexp-positive` THEN Auto)) THEN DSetVars THEN Unhide THEN All Reduce THEN Auto)) }

1
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
7. d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(((r1 + (x * B)) * r1) - (x - B) * B/(r1 + (x * B))
* (r1 + (x * B))) on ((r(-1)/B), ∞)
8. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} 
     ((r0 < (r1 + (x1 * B))) ∧ (r0 < ((r1 + (x1 * B)) * (r1 + (x1 * B)))) ∧ (r0 < r1 + (x1 * B)^2))
⊢ d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2) on ((r(-1)/B), ∞)

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  \{B:\mBbbR{}|  r0  <  B\} 
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\} 
3.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\}  .  (r0  <  (r1  +  (x  *  B)))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))
5.  d(arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
6.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  ((r(-1)/B),  \minfty{})\}  .  (r0  <  r1  +  (x1  *  B)\^{}2)
7.  d((x  -  B/r1  +  (x  *  B)))/dx  =  \mlambda{}x.(((r1  +  (x  *  B))  *  r1)  -  (x  -  B)  *  B/(r1  +  (x  *  B))
*  (r1  +  (x  *  B)))  on  ((r(-1)/B),  \minfty{})
\mvdash{}  d((x  -  B/r1  +  (x  *  B)))/dx  =  \mlambda{}x.(r1  +  (B  *  B)/r1  +  (x  *  B)\^{}2)  on  ((r(-1)/B),  \minfty{})


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  ((r(-1)/B),  \minfty{})\} 
                    ((r0  <  (r1  +  (x1  *  B)))
                    \mwedge{}  (r0  <  ((r1  +  (x1  *  B))  *  (r1  +  (x1  *  B))))
                    \mwedge{}  (r0  <  r1  +  (x1  *  B)\^{}2))  BY
              (EAuto  1
                THEN  Try  ((BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
                THEN  DSetVars
                THEN  Unhide
                THEN  All  Reduce
                THEN  Auto))

---

Home Index