---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma arctangent-reduction

.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
⊢ d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2) on ((r(-1)/B), ∞)
BY
{ (InstLemma `derivative-rdiv`  [((r(-1)/B), ∞);⌜λ2x.x - B⌝;⌜λ2x.r1 + (x * B)⌝;⌜λ2x.r1⌝;⌜λ2x.B⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
⊢ r1 + (x * B)≠r0 for x ∈ ((r(-1)/B), ∞)

2
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
⊢ d(x - B)/dx = λx.r1 on ((r(-1)/B), ∞)

3
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
⊢ d(r1 + (x * B))/dx = λx.B on ((r(-1)/B), ∞)

4
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
7. d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(((r1 + (x * B)) * r1) - (x - B) * B/(r1 + (x * B))
* (r1 + (x * B))) on ((r(-1)/B), ∞)
⊢ d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2) on ((r(-1)/B), ∞)

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  B  :  \{B:\mBbbR{}|  r0  <  B\} 
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\} 
3.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\}  .  (r0  <  (r1  +  (x  *  B)))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))
5.  d(arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
6.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  ((r(-1)/B),  \minfty{})\}  .  (r0  <  r1  +  (x1  *  B)\^{}2)
\mvdash{}  d((x  -  B/r1  +  (x  *  B)))/dx  =  \mlambda{}x.(r1  +  (B  *  B)/r1  +  (x  *  B)\^{}2)  on  ((r(-1)/B),  \minfty{})


By

---

Latex:
(InstLemma  `derivative-rdiv` 
  [((r(-1)/B),  \minfty{});\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.x  -  B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.r1  +  (x  *  B)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.B\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index