---

Step * 2 of Lemma cos-sin-equation


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ¬¬((∃c:ℝ
        ((r0 ≤ (c - c^2))
        ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = c))
        ∧ ((∀x:ℝ. (g(x) = rsqrt(c - c^2))) ∨ (∀x:ℝ. (g(x) = -(rsqrt(c - c^2)))))))
∨ (∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))))))
⊢ ((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))))
∧ (∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y)))))
BY
{ ((StableCases ⌜(∃c:ℝ
                   ((r0 ≤ (c - c^2))
                   ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = c))
                   ∧ ((∀x:ℝ. (g(x) = rsqrt(c - c^2))) ∨ (∀x:ℝ. (g(x) = -(rsqrt(c - c^2)))))))
                 ∨ (∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))⌝⋅
    THENA (Auto THEN Repeat ((BLemma `stable__and` THEN Auto)) THEN Repeat ((BLemma `stable__all` THEN Auto)))
    )
   THEN (Trivial ORELSE (Thin (-2) THEN D -1 THEN ExRepD THEN SplitOrHyps THEN RWO "-1 -2" 0 THEN Auto))
   ) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. c : ℝ
4. r0 ≤ (c - c^2)
5. ∀x:ℝ. (f(x) = c)
6. ∀x:ℝ. (g(x) = rsqrt(c - c^2))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (c = c))
8. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (rsqrt(c - c^2) = rsqrt(c - c^2)))
9. x : ℝ
10. y : ℝ
⊢ c = ((c * c) + (rsqrt(c - c^2) * rsqrt(c - c^2)))

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. c : ℝ
4. r0 ≤ (c - c^2)
5. ∀x:ℝ. (f(x) = c)
6. ∀x:ℝ. (g(x) = -(rsqrt(c - c^2)))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (c = c))
8. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (-(rsqrt(c - c^2)) = -(rsqrt(c - c^2))))
9. x : ℝ
10. y : ℝ
⊢ c = ((c * c) + (-(rsqrt(c - c^2)) * -(rsqrt(c - c^2))))

3
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. a ≠ r0
5. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))
6. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (rcos(a * x) = rcos(a * y)))
8. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (rsin(a * x) = rsin(a * y)))
9. x : ℝ
10. y : ℝ
⊢ rcos(a * (x - y)) = ((rcos(a * x) * rcos(a * y)) + (rsin(a * x) * rsin(a * y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  g  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}
                ((r0  \mleq{}  (c  -  c\^{}2))
                \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  c))
                \mwedge{}  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsqrt(c  -  c\^{}2)))  \mvee{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  -(rsqrt(c  -  c\^{}2)))))))
\mvee{}  (\mexists{}a:\mBbbR{}.  (a  \mneq{}  r0  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a  *  x)))  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x))))))
\mvdash{}  ((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  ((f(x)  *  f(y))  +  (g(x)  *  g(y)))))


By

---

Latex:
((StableCases  \mkleeneopen{}(\mexists{}c:\mBbbR{}
                                  ((r0  \mleq{}  (c  -  c\^{}2))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  c))
                                  \mwedge{}  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsqrt(c  -  c\^{}2)))  \mvee{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  -(rsqrt(c  -  c\^{}2)))))))
                              \mvee{}  (\mexists{}a:\mBbbR{}.  (a  \mneq{}  r0  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a  *  x)))  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (Auto
                  THEN  Repeat  ((BLemma  `stable\_\_and`  THEN  Auto))
                  THEN  Repeat  ((BLemma  `stable\_\_all`  THEN  Auto)))
    )
  THEN  (Trivial
            ORELSE  (Thin  (-2)  THEN  D  -1  THEN  ExRepD  THEN  SplitOrHyps  THEN  RWO  "-1  -2"  0  THEN  Auto)
            )
  )

---

Home Index