---

Step * 1 1 of Lemma cosh-inv-cosh


1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
9. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
10. v1 : {y:ℝ| y = e^v} 
11. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
12. v2 : {y:ℝ| y = e^-(v)} 
13. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
⊢ (v1 + v2) = (r(2) * x)
BY
{ ((DSetVars THEN (Unhide THENA Auto))
   THEN (Assert v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1)) BY
               (RWW "-5 9 rexp-rlog" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert v2 = (r1/x + rsqrt((x * x) - r1)) BY
               (RWW "-3 9 rexp-rminus rexp-rlog" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "-2<" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : ℝ
9. v = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))
10. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
11. v1 : ℝ
12. v1 = e^v
13. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
14. v2 : ℝ
15. v2 = e^-(v)
16. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
17. v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1))
18. v2 = (r1/v1)
⊢ (v1 + (r1/v1)) = (r(2) * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r1  \mleq{}  x
3.  r1  \mleq{}  (x  *  x)
4.  r0  \mleq{}  ((x  *  x)  -  r1)
5.  r0  \mleq{}  rsqrt((x  *  x)  -  r1)
6.  r1  \mleq{}  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
7.  r0  <  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
8.  v  :  \{x1:\mBbbR{}|  x1  =  rlog(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))\} 
9.  ln(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))  =  v
10.  v1  :  \{y:\mBbbR{}|  y  =  e\^{}v\} 
11.  expr(v)  =  v1
12.  v2  :  \{y:\mBbbR{}|  y  =  e\^{}-(v)\} 
13.  expr(-(v))  =  v2
\mvdash{}  (v1  +  v2)  =  (r(2)  *  x)


By

---

Latex:
((DSetVars  THEN  (Unhide  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  v1  =  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))  BY
                          (RWW  "-5  9  rexp-rlog"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  v2  =  (r1/x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))  BY
                          (RWW  "-3  9  rexp-rminus  rexp-rlog"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-2<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index