---

Step * 1 1 1 of Lemma cosh-inv-cosh


1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : ℝ
9. v = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))
10. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
11. v1 : ℝ
12. v1 = e^v
13. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
14. v2 : ℝ
15. v2 = e^-(v)
16. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
17. v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1))
18. v2 = (r1/v1)
⊢ (v1 + (r1/v1)) = (r(2) * x)
BY
{ ((nRMul ⌜v1⌝ 0⋅ THENA Auto) THEN (RWO "-2" 0 THENA Auto) THEN (GenConclTerm ⌜rsqrt((x * x) - r1)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : ℝ
9. v = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))
10. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
11. v1 : ℝ
12. v1 = e^v
13. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
14. v2 : ℝ
15. v2 = e^-(v)
16. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
17. v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1))
18. v2 = (r1/v1)
19. v3 : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((x * x) - r1))} 
20. rsqrt((x * x) - r1) = v3 ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((x * x) - r1))} 
⊢ (r1 + ((x + v3) * (x + v3))) = (r(2) * (x + v3) * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r1  \mleq{}  x
3.  r1  \mleq{}  (x  *  x)
4.  r0  \mleq{}  ((x  *  x)  -  r1)
5.  r0  \mleq{}  rsqrt((x  *  x)  -  r1)
6.  r1  \mleq{}  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
7.  r0  <  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
8.  v  :  \mBbbR{}
9.  v  =  rlog(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
10.  ln(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))  =  v
11.  v1  :  \mBbbR{}
12.  v1  =  e\^{}v
13.  expr(v)  =  v1
14.  v2  :  \mBbbR{}
15.  v2  =  e\^{}-(v)
16.  expr(-(v))  =  v2
17.  v1  =  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
18.  v2  =  (r1/v1)
\mvdash{}  (v1  +  (r1/v1))  =  (r(2)  *  x)


By

---

Latex:
((nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}rsqrt((x  *  x)  -  r1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index