---

Step * 1 1 1 1 of Lemma cosh-inv-cosh


1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : ℝ
9. v = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))
10. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
11. v1 : ℝ
12. v1 = e^v
13. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
14. v2 : ℝ
15. v2 = e^-(v)
16. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
17. v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1))
18. v2 = (r1/v1)
19. v3 : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((x * x) - r1))} 
20. rsqrt((x * x) - r1) = v3 ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((x * x) - r1))} 
⊢ (r1 + ((x + v3) * (x + v3))) = (r(2) * (x + v3) * x)
BY
{ (D -2 THEN (Unhide THENA Auto) THEN D -2 THEN (nRNorm 0 THENA Auto) THEN nRAdd ⌜-((x * x) + (r(2) * v3 * x))⌝ 0⋅) }

1
1. x : ℝ
2. r1 ≤ x
3. r1 ≤ (x * x)
4. r0 ≤ ((x * x) - r1)
5. r0 ≤ rsqrt((x * x) - r1)
6. r1 ≤ (x + rsqrt((x * x) - r1))
7. r0 < (x + rsqrt((x * x) - r1))
8. v : ℝ
9. v = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))
10. ln(x + rsqrt((x * x) - r1)) = v ∈ {x1:ℝ| x1 = rlog(x + rsqrt((x * x) - r1))} 
11. v1 : ℝ
12. v1 = e^v
13. expr(v) = v1 ∈ {y:ℝ| y = e^v} 
14. v2 : ℝ
15. v2 = e^-(v)
16. expr(-(v)) = v2 ∈ {y:ℝ| y = e^-(v)} 
17. v1 = (x + rsqrt((x * x) - r1))
18. v2 = (r1/v1)
19. v3 : ℝ
20. r0 ≤ v3
21. (v3 * v3) = ((x * x) - r1)
22. rsqrt((x * x) - r1) = v3 ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((x * x) - r1))} 
⊢ (r1 + (v3 * v3)) = (x * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r1  \mleq{}  x
3.  r1  \mleq{}  (x  *  x)
4.  r0  \mleq{}  ((x  *  x)  -  r1)
5.  r0  \mleq{}  rsqrt((x  *  x)  -  r1)
6.  r1  \mleq{}  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
7.  r0  <  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
8.  v  :  \mBbbR{}
9.  v  =  rlog(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
10.  ln(x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))  =  v
11.  v1  :  \mBbbR{}
12.  v1  =  e\^{}v
13.  expr(v)  =  v1
14.  v2  :  \mBbbR{}
15.  v2  =  e\^{}-(v)
16.  expr(-(v))  =  v2
17.  v1  =  (x  +  rsqrt((x  *  x)  -  r1))
18.  v2  =  (r1/v1)
19.  v3  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((x  *  x)  -  r1))\} 
20.  rsqrt((x  *  x)  -  r1)  =  v3
\mvdash{}  (r1  +  ((x  +  v3)  *  (x  +  v3)))  =  (r(2)  *  (x  +  v3)  *  x)


By

---

Latex:
(D  -2
  THEN  (Unhide  THENA  Auto)
  THEN  D  -2
  THEN  (nRNorm  0  THENA  Auto)
  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}-((x  *  x)  +  (r(2)  *  v3  *  x))\mkleeneclose{}  0\mcdot{})

---

Home Index