---

Step * 2 1 2 of Lemma second-derivative-log-contraction


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x) on (-∞, ∞)
8. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ ((r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x)) = (((r(-4) * a) * e^x) * (a - e^x)/a + e^x^3)
BY
{ ((Assert r0 < (a + e^x) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1) THEN GenConclTerms Auto [⌜a + e^x⌝;⌜a - e^x⌝;⌜e^x⌝] ⋅) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x) on (-∞, ∞)
8. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
9. v : ℝ
10. (a + e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (a - e^x) = v1 ∈ ℝ
13. v2 : ℝ
14. e^x = v2 ∈ ℝ
⊢ (r0 < v) ⇒ (((r(2) * ((r(-2) * a) * v2/v^2)) * (v1/v)) = (((r(-4) * a) * v2) * v1/v^3))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
3.  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2)
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))
7.  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2)/dx  =  \mlambda{}x.(r(2)  *  ((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2))
*  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
\mvdash{}  ((r(2)  *  ((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2))  *  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))
=  (((r(-4)  *  a)  *  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x)/a  +  e\^{}x\^{}3)


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  (a  +  e\^{}x)  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}a  +  e\^{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a  -  e\^{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\^{}x\mkleeneclose{}]  \mcdot{})

---

Home Index