---

Step * 2 1 2 1 of Lemma second-derivative-log-contraction


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x) on (-∞, ∞)
8. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
9. v : ℝ
10. (a + e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (a - e^x) = v1 ∈ ℝ
13. v2 : ℝ
14. e^x = v2 ∈ ℝ
⊢ (r0 < v) ⇒ (((r(2) * ((r(-2) * a) * v2/v^2)) * (v1/v)) = (((r(-4) * a) * v2) * v1/v^3))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `rnexp-positive` [⌜v⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜3⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜2⌝] (-2)⋅ THENA Auto)) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
3. d((a - e^x/a + e^x))/dx = λx.((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. ∀x:ℝ. (r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)))
7. d((a - e^x/a + e^x)^2)/dx = λx.(r(2) * ((r(-2) * a) * e^x/a + e^x^2)) * (a - e^x/a + e^x) on (-∞, ∞)
8. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
9. v : ℝ
10. (a + e^x) = v ∈ ℝ
11. v1 : ℝ
12. (a - e^x) = v1 ∈ ℝ
13. v2 : ℝ
14. e^x = v2 ∈ ℝ
15. r0 < v
16. ∀n:ℕ. (r0 < v^n)
17. r0 < v^3
18. r0 < v^2
⊢ ((r(2) * ((r(-2) * a) * v2/v^2)) * (v1/v)) = (((r(-4) * a) * v2) * v1/v^3)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
3.  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2)
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))
7.  d((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2)/dx  =  \mlambda{}x.(r(2)  *  ((r(-2)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2))
*  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
9.  v  :  \mBbbR{}
10.  (a  +  e\^{}x)  =  v
11.  v1  :  \mBbbR{}
12.  (a  -  e\^{}x)  =  v1
13.  v2  :  \mBbbR{}
14.  e\^{}x  =  v2
\mvdash{}  (r0  <  v)  {}\mRightarrow{}  (((r(2)  *  ((r(-2)  *  a)  *  v2/v\^{}2))  *  (v1/v))  =  (((r(-4)  *  a)  *  v2)  *  v1/v\^{}3))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `rnexp-positive`  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}3\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index