---

Step * 2 1 1 1 of Lemma small-arcsine

.....assertion..... 
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
⊢ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
BY
{ (D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. r : ℝ
7. -((r1/r(N + 1))) ≤ r
8. r ≤ (r1/r(N + 1))
⊢ r(-1) < r

2
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. r : ℝ
7. -((r1/r(N + 1))) ≤ r
8. r ≤ (r1/r(N + 1))
9. r(-1) < r
⊢ r < r1

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  |a|  \mleq{}  (r1/r(N  +  1))
4.  a  \mmember{}  (r(-1),  r1)
5.  \mforall{}f,f':[-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
          {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}
                      ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  c))
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .
                                  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (c  *  |x  -  y|))))))
\mvdash{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]  \msubseteq{}  (r(-1),  r1) 


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index