---

Step * 1 1 1 2 2 of Lemma third-derivative-log-contraction-nonneg


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
6. b : ℝ
7. e^x = b ∈ ℝ
8. r0 < b
9. a ≤ (b * e^r1)
10. (b * e^-(r1)) ≤ a
11. ((a * a) + (b * b)) ≤ (r(4) * a * b)
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * b * a^3) + (r(16) * b^2 * a^2) + (r(-4) * b^3 * a))
BY
{ ((nRMul ⌜r(4)⌝ (-1)⋅ THENA Auto) THEN (RWW  "rmul-assoc rmul-int" (-1) THENA Auto) THEN Reduce -1) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. x : ℝ
3. |x - rlog(a)| ≤ r1
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
6. b : ℝ
7. e^x = b ∈ ℝ
8. r0 < b
9. a ≤ (b * e^r1)
10. (b * e^-(r1)) ≤ a
11. (((r(4) * a) * a) + ((r(4) * b) * b)) ≤ ((r(16) * a) * b)
⊢ r0 ≤ ((r(-4) * b * a^3) + (r(16) * b^2 * a^2) + (r(-4) * b^3 * a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
6.  b  :  \mBbbR{}
7.  e\^{}x  =  b
8.  r0  <  b
9.  a  \mleq{}  (b  *  e\^{}r1)
10.  (b  *  e\^{}-(r1))  \mleq{}  a
11.  ((a  *  a)  +  (b  *  b))  \mleq{}  (r(4)  *  a  *  b)
\mvdash{}  r0  \mleq{}  ((r(-4)  *  b  *  a\^{}3)  +  (r(16)  *  b\^{}2  *  a\^{}2)  +  (r(-4)  *  b\^{}3  *  a))


By

---

Latex:
((nRMul  \mkleeneopen{}r(4)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (RWW    "rmul-assoc  rmul-int"  (-1)  THENA  Auto)  THEN  Reduce  -1)

---

Home Index