---

Step * 1 1 1 1 of Lemma div_bounds_2


1. a : {...-1}
2. n : ℕ+
3. a = ((n * (a ÷ n)) + (a rem n)) ∈ ℤ
4. 0 ≥ (a rem n) 
5. -n < a rem n
6. ¬((a ÷ n) ≤ 0)
7. (n * 1) ≤ (n * (a ÷ n))
8. (-n) + (n * (a ÷ n)) < (a rem n) + (n * (a ÷ n))
9. 0 ≤ ((-n) + (n * (a ÷ n)))
⊢ 0 < (a rem n) + (n * (a ÷ n))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1)) THEN GenConclTerms Auto [⌜(a rem n) + (n * (a ÷ n))⌝;⌜n * (a ÷ n)⌝]⋅ THEN All Thin) }

1
1. n : ℕ+
2. v : ℤ
3. v1 : ℤ
⊢ (-n) + v1 < v ⇒ (0 ≤ ((-n) + v1)) ⇒ 0 < v

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{...-1\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  a  =  ((n  *  (a  \mdiv{}  n))  +  (a  rem  n))
4.  0  \mgeq{}  (a  rem  n) 
5.  -n  <  a  rem  n
6.  \mneg{}((a  \mdiv{}  n)  \mleq{}  0)
7.  (n  *  1)  \mleq{}  (n  *  (a  \mdiv{}  n))
8.  (-n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n))  <  (a  rem  n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n))
9.  0  \mleq{}  ((-n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n)))
\mvdash{}  0  <  (a  rem  n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}(a  rem  n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n  *  (a  \mdiv{}  n)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Thin)

---

Home Index