---

Step * 1 1 1 of Lemma div_bounds_2


1. a : {...-1}
2. n : ℕ+
3. a = ((n * (a ÷ n)) + (a rem n)) ∈ ℤ
4. 0 ≥ (a rem n) 
5. (a rem n) > (-n)
6. ¬((a ÷ n) ≤ 0)
7. (n * 1) ≤ (n * (a ÷ n))
⊢ (a ÷ n) ≤ 0
BY
{ (Assert 0 < (n * (a ÷ n)) + (a rem n) BY
         (Add ⌜n * (a ÷ n)⌝ (-3)⋅
          THEN (Subst' (n * (a ÷ n)) + (a rem n) ~ (a rem n) + (n * (a ÷ n)) 0 THENA Auto)
          THEN (Assert 0 ≤ ((-n) + (n * (a ÷ n))) BY
                      (RWO "-2<" 0 THEN Auto)))) }

1
1. a : {...-1}
2. n : ℕ+
3. a = ((n * (a ÷ n)) + (a rem n)) ∈ ℤ
4. 0 ≥ (a rem n) 
5. -n < a rem n
6. ¬((a ÷ n) ≤ 0)
7. (n * 1) ≤ (n * (a ÷ n))
8. (-n) + (n * (a ÷ n)) < (a rem n) + (n * (a ÷ n))
9. 0 ≤ ((-n) + (n * (a ÷ n)))
⊢ 0 < (a rem n) + (n * (a ÷ n))

2
1. a : {...-1}
2. n : ℕ+
3. a = ((n * (a ÷ n)) + (a rem n)) ∈ ℤ
4. 0 ≥ (a rem n) 
5. (a rem n) > (-n)
6. ¬((a ÷ n) ≤ 0)
7. (n * 1) ≤ (n * (a ÷ n))
8. 0 < (n * (a ÷ n)) + (a rem n)
⊢ (a ÷ n) ≤ 0

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{...-1\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  a  =  ((n  *  (a  \mdiv{}  n))  +  (a  rem  n))
4.  0  \mgeq{}  (a  rem  n) 
5.  (a  rem  n)  >  (-n)
6.  \mneg{}((a  \mdiv{}  n)  \mleq{}  0)
7.  (n  *  1)  \mleq{}  (n  *  (a  \mdiv{}  n))
\mvdash{}  (a  \mdiv{}  n)  \mleq{}  0


By

---

Latex:
(Assert  0  <  (n  *  (a  \mdiv{}  n))  +  (a  rem  n)  BY
              (Add  \mkleeneopen{}n  *  (a  \mdiv{}  n)\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}
                THEN  (Subst'  (n  *  (a  \mdiv{}  n))  +  (a  rem  n)  \msim{}  (a  rem  n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n))  0  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  0  \mleq{}  ((-n)  +  (n  *  (a  \mdiv{}  n)))  BY
                                        (RWO  "-2<"  0  THEN  Auto))))

---

Home Index