---

Step * 1 of Lemma permutation-sign-flip-adjacent


1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
⊢ Π(Π(sign((f ((u, u + 1) j)) - f ((u, u + 1) i)) | i < j) | j < n) = (-Π(Π(sign((f j) - f i) | i < j) | j < n)) ∈ ℤ
BY
{ Subst' Π(Π(sign((f ((u, u + 1) j)) - f ((u, u + 1) i)) | i < j) | j < n)
= Π(if (j =z u) then Π(sign((f (u + 1)) - f i) | i < u + 1) * sign((f (u + 1)) - f u)
  if (j =z u + 1) then Π(sign((f u) - f i) | i < u + 1) * sign((f u) - f (u + 1))
  else Π(sign((f j) - f i) | i < j)
  fi  | j < n)
∈ ℤ 0 }

1
.....equality..... 
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
⊢ Π(Π(sign((f ((u, u + 1) j)) - f ((u, u + 1) i)) | i < j) | j < n)
= Π(if (j =z u) then Π(sign((f (u + 1)) - f i) | i < u + 1) * sign((f (u + 1)) - f u)
  if (j =z u + 1) then Π(sign((f u) - f i) | i < u + 1) * sign((f u) - f (u + 1))
  else Π(sign((f j) - f i) | i < j)
  fi  | j < n)
∈ ℤ

2
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
⊢ Π(if (j =z u) then Π(sign((f (u + 1)) - f i) | i < u + 1) * sign((f (u + 1)) - f u)
if (j =z u + 1) then Π(sign((f u) - f i) | i < u + 1) * sign((f u) - f (u + 1))
else Π(sign((f j) - f i) | i < j)
fi  | j < n)
= (-Π(Π(sign((f j) - f i) | i < j) | j < n))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
3.  u  :  \mBbbN{}n  -  1
\mvdash{}  \mPi{}(\mPi{}(sign((f  ((u,  u  +  1)  j))  -  f  ((u,  u  +  1)  i))  |  i  <  j)  |  j  <  n)
=  (-\mPi{}(\mPi{}(sign((f  j)  -  f  i)  |  i  <  j)  |  j  <  n))


By

---

Latex:
Subst'  \mPi{}(\mPi{}(sign((f  ((u,  u  +  1)  j))  -  f  ((u,  u  +  1)  i))  |  i  <  j)  |  j  <  n)
=  \mPi{}(if  (j  =\msubz{}  u)  then  \mPi{}(sign((f  (u  +  1))  -  f  i)  |  i  <  u  +  1)  *  sign((f  (u  +  1))  -  f  u)
    if  (j  =\msubz{}  u  +  1)  then  \mPi{}(sign((f  u)  -  f  i)  |  i  <  u  +  1)  *  sign((f  u)  -  f  (u  +  1))
    else  \mPi{}(sign((f  j)  -  f  i)  |  i  <  j)
    fi    |  j  <  n)  0

---

Home Index