---

Step * of Lemma sum-of-three-cubes-iff-3

∀k:ℕ
  (∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
  ⇐⇒ ∃d:ℕ. ∃e:ℤ. ((∃c:ℤ. (((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)) ∧ (∃n:ℕ. (((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ))))
BY
{ (InstLemma `sum-of-three-cubes-iff-2` [] THEN RepeatFor 2 (ParallelLast') THEN ExRepD) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c1 : ℤ
5. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
6. c : ℤ
7. ((c * c * c) = k ∈ ℤ)
∨ (∃d:ℕ
    ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
    ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
    ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ))))
⊢ ∃d:ℕ. ∃e:ℤ. ((∃c:ℤ. (((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)) ∧ (∃n:ℕ. (((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))

2
1. k : ℕ
2. d : ℕ
3. e : ℤ
4. c : ℤ
5. ((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
6. n : ℕ
7. ((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ
⊢ ∃c:ℤ
   (((c * c * c) = k ∈ ℤ)
   ∨ (∃d:ℕ
       ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
       ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}
    (\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d:\mBbbN{}
              \mexists{}e:\mBbbZ{}.  ((\mexists{}c:\mBbbZ{}.  (((d  *  e)  -  k)  =  (c  *  c  *  c)))  \mwedge{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((4  *  e)  -  d  *  d)  =  (3  *  n  *  n)))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `sum-of-three-cubes-iff-2`  []  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast')  THEN  ExRepD)

---

Home Index