Nuprl Lemma : sum-of-three-cubes-iff-3

This solution to the problem of writing 33 as the sum of three cubes
was found around March 9, 2019 by Andrew Booker using 15 core-years
computation time (over three weeks real time) on a super-computer in Bristol.

The smallest number for which it is unknown whether it is the sum of three
cubes is now 42 (and the next is 114).⋅
∀k:ℕ
  (∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
  ⇐⇒ ∃d:ℕ. ∃e:ℤ. ((∃c:ℤ. (((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)) ∧ (∃n:ℕ. (((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ))))


Proof



Definitions occuring in Statement :  nat: ℕ,  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  multiply: n * m,  subtract: n - m,  add: n + m,  natural_number: $n,  int: ℤ,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  all: ∀x:A. B[x],  member: t ∈ T,  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  implies: P ⇒ Q,  exists: ∃x:A. B[x],  subtype_rel: A ⊆r B,  nat: ℕ,  uall: ∀[x:A]. B[x],  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s],  uimplies: b supposing a,  rev_implies: P ⇐ Q,  or: P ∨ Q,  ge: i ≥ j ,  decidable: Dec(P),  not: ¬A,  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  top: Top,  prop: ℙ,  false: False,  cand: A c∧ B,  subtract: n - m,  int_nzero: ℤ-o,  nequal: a ≠ b ∈ T ,  sq_type: SQType(T),  guard: {T},  uiff: uiff(P;Q),  squash: ↓T,  true: True
Lemmas referenced :  sum-of-three-cubes-iff-2,  istype-int,  int_subtype_base,  set_subtype_base,  le_wf,  istype-nat,  nat_properties,  decidable__le,  full-omega-unsat,  intformnot_wf,  intformle_wf,  itermConstant_wf,  int_formula_prop_not_lemma,  istype-void,  int_formula_prop_le_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_formula_prop_wf,  istype-le,  decidable__equal_int,  intformand_wf,  intformeq_wf,  itermSubtract_wf,  itermMultiply_wf,  itermVar_wf,  itermMinus_wf,  int_formula_prop_and_lemma,  int_formula_prop_eq_lemma,  int_term_value_subtract_lemma,  int_term_value_mul_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_minus_lemma,  divide_wfa,  subtract_wf,  nequal_wf,  subtype_base_sq,  div_rem_sum,  add-is-int-iff,  multiply-is-int-iff,  itermAdd_wf,  int_term_value_add_lemma,  false_wf,  minus-minus,  minus-one-mul,  add-commutes,  add-associates,  add-mul-special,  zero-mul,  zero-add,  rem-exact,  equal_wf,  divide-exact,  iff_weakening_equal
Rules used in proof :  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  Error :lambdaFormation_alt,  hypothesis,  sqequalHypSubstitution,  dependent_functionElimination,  thin,  hypothesisEquality,  independent_pairFormation,  productElimination,  independent_functionElimination,  sqequalRule,  Error :productIsType,  because_Cache,  Error :equalityIstype,  baseApply,  closedConclusion,  baseClosed,  applyEquality,  isectElimination,  intEquality,  Error :lambdaEquality_alt,  natural_numberEquality,  Error :inhabitedIsType,  independent_isectElimination,  sqequalBase,  equalitySymmetry,  unionElimination,  Error :dependent_pairFormation_alt,  Error :dependent_set_memberEquality_alt,  setElimination,  rename,  approximateComputation,  Error :isect_memberEquality_alt,  voidElimination,  Error :universeIsType,  equalityTransitivity,  minusEquality,  int_eqEquality,  multiplyEquality,  instantiate,  cumulativity,  pointwiseFunctionality,  promote_hyp,  Error :unionIsType,  Error :functionIsType,  Error :inlFormation_alt,  Error :inrFormation_alt,  imageElimination,  imageMemberEquality
Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}
    (\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d:\mBbbN{}
              \mexists{}e:\mBbbZ{}.  ((\mexists{}c:\mBbbZ{}.  (((d  *  e)  -  k)  =  (c  *  c  *  c)))  \mwedge{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((4  *  e)  -  d  *  d)  =  (3  *  n  *  n)))))


Date html generated: 2019_06_20-PM-02_42_25
Last ObjectModification: 2019_03_16-PM-01_00_36

Theory : num_thy_1


Home Index