---

Step * of Lemma sum-of-three-cubes-iff-4

∀k:ℕ
  (∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
  ⇐⇒ ∃d,n:ℕ
       ((((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃c:ℤ. (((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ))))
BY
{ (InstLemma `sum-of-three-cubes-iff-3` [] THEN RepeatFor 2 (ParallelLast') THEN ExRepD) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c1 : ℤ
5. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
6. d : ℕ
7. e : ℤ
8. c : ℤ
9. ((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
10. n : ℕ
11. ((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ) ∧ (∃c:ℤ. (((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)))

2
1. k : ℕ
2. d : ℕ
3. n : ℕ
4. ((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ
5. c : ℤ
6. ((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
⊢ ∃d:ℕ. ∃e:ℤ. ((∃c:ℤ. (((d * e) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)) ∧ (∃n:ℕ. (((4 * e) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}
    (\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d,n:\mBbbN{}
              ((((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)  rem  4)  =  0)
              \mwedge{}  (\mexists{}c:\mBbbZ{}.  (((d  *  (((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n))  \mdiv{}  4))  -  k)  =  (c  *  c  *  c)))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `sum-of-three-cubes-iff-3`  []  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast')  THEN  ExRepD)

---

Home Index