Nuprl Lemma : sum-of-three-cubes-iff-4

This solution to the problem of writing 33 as the sum of three cubes
was found around March 9, 2019 by Andrew Booker using 15 core-years
computation time (over three weeks real time) on a super-computer in Bristol.

The smallest number for which it is unknown whether it is the sum of three
cubes is now 42 (and the next is 114).⋅
∀k:ℕ
  (∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
  ⇐⇒ ∃d,n:ℕ
       ((((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃c:ℤ. (((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ))))


Proof



Definitions occuring in Statement :  nat: ℕ,  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  remainder: n rem m,  divide: n ÷ m,  multiply: n * m,  subtract: n - m,  add: n + m,  natural_number: $n,  int: ℤ,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  all: ∀x:A. B[x],  member: t ∈ T,  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  implies: P ⇒ Q,  exists: ∃x:A. B[x],  subtype_rel: A ⊆r B,  nat: ℕ,  uall: ∀[x:A]. B[x],  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s],  uimplies: b supposing a,  rev_implies: P ⇐ Q,  ge: i ≥ j ,  decidable: Dec(P),  or: P ∨ Q,  not: ¬A,  satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla),  false: False,  top: Top,  prop: ℙ,  sq_type: SQType(T),  guard: {T},  int_nzero: ℤ-o,  true: True,  nequal: a ≠ b ∈ T ,  cand: A c∧ B,  uiff: uiff(P;Q)
Lemmas referenced :  sum-of-three-cubes-iff-3,  istype-int,  int_subtype_base,  set_subtype_base,  le_wf,  istype-nat,  subtype_base_sq,  nat_properties,  decidable__equal_int,  full-omega-unsat,  intformand_wf,  intformnot_wf,  intformeq_wf,  itermAdd_wf,  itermMultiply_wf,  itermVar_wf,  itermConstant_wf,  itermSubtract_wf,  int_formula_prop_and_lemma,  istype-void,  int_formula_prop_not_lemma,  int_formula_prop_eq_lemma,  int_term_value_add_lemma,  int_term_value_mul_lemma,  int_term_value_var_lemma,  int_term_value_constant_lemma,  int_term_value_subtract_lemma,  int_formula_prop_wf,  div-cancel2,  nequal_wf,  rem-exact,  divide_wfa,  div_rem_sum,  add-is-int-iff,  multiply-is-int-iff,  false_wf
Rules used in proof :  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  Error :lambdaFormation_alt,  hypothesis,  sqequalHypSubstitution,  dependent_functionElimination,  thin,  hypothesisEquality,  independent_pairFormation,  productElimination,  independent_functionElimination,  sqequalRule,  Error :productIsType,  because_Cache,  Error :equalityIstype,  baseApply,  closedConclusion,  baseClosed,  applyEquality,  isectElimination,  intEquality,  Error :lambdaEquality_alt,  natural_numberEquality,  Error :inhabitedIsType,  independent_isectElimination,  sqequalBase,  equalitySymmetry,  Error :dependent_pairFormation_alt,  equalityTransitivity,  instantiate,  cumulativity,  setElimination,  rename,  unionElimination,  approximateComputation,  int_eqEquality,  Error :isect_memberEquality_alt,  voidElimination,  Error :universeIsType,  Error :dependent_set_memberEquality_alt,  addEquality,  multiplyEquality,  pointwiseFunctionality,  promote_hyp
Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}
    (\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d,n:\mBbbN{}
              ((((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)  rem  4)  =  0)
              \mwedge{}  (\mexists{}c:\mBbbZ{}.  (((d  *  (((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n))  \mdiv{}  4))  -  k)  =  (c  *  c  *  c)))))


Date html generated: 2019_06_20-PM-02_42_32
Last ObjectModification: 2019_03_16-PM-01_00_21

Theory : num_thy_1


Home Index