---

Step * 1 1 of Lemma two-squares-iff


1. x : ℕ
2. v : ℕ
3. isqrt(x) = v ∈ ℕ
4. (v * v) ≤ x
5. x < (v + 1) * (v + 1)
6. y : ℕ
7. z : ℕ
8. ((y * y) + (z * z)) = x ∈ ℤ
⊢ ∃y:ℕv + 1. ((isqrt(x - y * y) * isqrt(x - y * y)) = (x - y * y) ∈ ℤ)
BY
{ ((Assert 0 ≤ (z * z) BY Auto) THEN D 0 With ⌜y⌝ ) }

1
.....wf..... 
1. x : ℕ
2. v : ℕ
3. isqrt(x) = v ∈ ℕ
4. (v * v) ≤ x
5. x < (v + 1) * (v + 1)
6. y : ℕ
7. z : ℕ
8. ((y * y) + (z * z)) = x ∈ ℤ
9. 0 ≤ (z * z)
⊢ y ∈ ℕv + 1

2
1. x : ℕ
2. v : ℕ
3. isqrt(x) = v ∈ ℕ
4. (v * v) ≤ x
5. x < (v + 1) * (v + 1)
6. y : ℕ
7. z : ℕ
8. ((y * y) + (z * z)) = x ∈ ℤ
9. 0 ≤ (z * z)
⊢ (isqrt(x - y * y) * isqrt(x - y * y)) = (x - y * y) ∈ ℤ

3
.....wf..... 
1. x : ℕ
2. v : ℕ
3. isqrt(x) = v ∈ ℕ
4. (v * v) ≤ x
5. x < (v + 1) * (v + 1)
6. y : ℕ
7. z : ℕ
8. ((y * y) + (z * z)) = x ∈ ℤ
9. 0 ≤ (z * z)
10. y1 : ℕv + 1
⊢ (isqrt(x - y1 * y1) * isqrt(x - y1 * y1)) = (x - y1 * y1) ∈ ℤ ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}
2.  v  :  \mBbbN{}
3.  isqrt(x)  =  v
4.  (v  *  v)  \mleq{}  x
5.  x  <  (v  +  1)  *  (v  +  1)
6.  y  :  \mBbbN{}
7.  z  :  \mBbbN{}
8.  ((y  *  y)  +  (z  *  z))  =  x
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbN{}v  +  1.  ((isqrt(x  -  y  *  y)  *  isqrt(x  -  y  *  y))  =  (x  -  y  *  y))


By

---

Latex:
((Assert  0  \mleq{}  (z  *  z)  BY  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}  )

---

Home Index