---

Step * of Lemma least-equiv-is-equiv-1

∀[A,B:Type].  ∀[R:B ⟶ B ⟶ ℙ]. EquivRel(A;x,y.least-equiv(B;R) x y) supposing A ⊆r B
BY
{ (Intros
   THEN (Assert ∀L:(a:B × b:B × ((R a b) ∨ (R b a))) List. ∀x,y:A.  istype(rel_path(B;L;x;y)) BY
               ((Intros THEN InstLemma `rel_path_wf` [⌜B⌝;⌜λ2x y.(R x y) ∨ (R y x)⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜L⌝]⋅) THEN Auto))
   THEN Auto
   THEN (D 0 THEN Auto)
   THEN D 0
   THEN RepUR ``least-equiv`` 0
   THEN Auto) }

1
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [%] : A ⊆r B
4. [R] : B ⟶ B ⟶ ℙ
5. ∀L:(a:B × b:B × ((R a b) ∨ (R b a))) List. ∀x,y:A.  istype(rel_path(B;L;x;y))
6. a : A
⊢ λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* a a

2
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [%] : A ⊆r B
4. [R] : B ⟶ B ⟶ ℙ
5. ∀L:(a:B × b:B × ((R a b) ∨ (R b a))) List. ∀x,y:A.  istype(rel_path(B;L;x;y))
6. a : A
7. b : A
8. λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* a b
⊢ λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* b a

3
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. [%] : A ⊆r B
4. [R] : B ⟶ B ⟶ ℙ
5. ∀L:(a:B × b:B × ((R a b) ∨ (R b a))) List. ∀x,y:A.  istype(rel_path(B;L;x;y))
6. Sym(A;x,y.least-equiv(B;R) x y)
7. a : A
8. b : A
9. c : A
10. λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* a b
11. λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* b c
⊢ λx,y. ((R x y) ∨ (R y x))^* a c

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[A,B:Type].    \mforall{}[R:B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  EquivRel(A;x,y.least-equiv(B;R)  x  y)  supposing  A  \msubseteq{}r  B


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (Assert  \mforall{}L:(a:B  \mtimes{}  b:B  \mtimes{}  ((R  a  b)  \mvee{}  (R  b  a)))  List.  \mforall{}x,y:A.    istype(rel\_path(B;L;x;y))  BY
                          ((Intros  THEN  InstLemma  `rel\_path\_wf`  [\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x  y.(R  x  y)  \mvee{}  (R  y  x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}]\mcdot{})
                            THEN  Auto
                            ))
  THEN  Auto
  THEN  (D  0  THEN  Auto)
  THEN  D  0
  THEN  RepUR  ``least-equiv``  0
  THEN  Auto)

---

Home Index