Step
*
1
2
1
1
2
of Lemma
Euler-Fermat
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. (Πx ∈ residues-mod(n). x * a^totient(n)) ≡ (Πx ∈ residues-mod(n). x * 1) mod n
7. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
8. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
9. CoPrime(accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1),n)
⊢ CoPrime(accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * 1),n)
BY
{ Subst ⌜accumulate (with value c and list item x):
          x * c
         over list:
           v
         with starting value:
          u * 1) ~ u * accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1)⌝ 0⋅ }
1
.....equality..... 
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. (Πx ∈ residues-mod(n). x * a^totient(n)) ≡ (Πx ∈ residues-mod(n). x * 1) mod n
7. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
8. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
9. CoPrime(accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1),n)
⊢ accumulate (with value c and list item x):
   x * c
  over list:
    v
  with starting value:
   u * 1) ~ u * accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1)
2
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. (Πx ∈ residues-mod(n). x * a^totient(n)) ≡ (Πx ∈ residues-mod(n). x * 1) mod n
7. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
8. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
9. CoPrime(accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1),n)
⊢ CoPrime(u * accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: 1),n)
Latex:
Latex:
1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  CoPrime(n,a)
4.  \mPi{}x  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(ai  mod  n);residues-mod(n)).  x  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
5.  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  (ax  mod  n)  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
6.  (\mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x  *  a\^{}totient(n))  \mequiv{}  (\mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x  *  1)  mod  n
7.  u  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\} 
8.  v  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\}    List
9.  CoPrime(accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):  x  *  cover  list:    vwith  starting  value:  1),n)
\mvdash{}  CoPrime(accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                      x  *  c
                    over  list:
                        v
                    with  starting  value:
                      u  *  1)
                  ,n)
By
Latex:
Subst  \mkleeneopen{}accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                x  *  c
              over  list:
                  v
              with  starting  value:
                u  *  1)  \msim{}  u
              *  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                    x  *  c
                  over  list:
                      v
                  with  starting  value:
                    1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
Home
Index