---

Step * 1 2 1 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares


1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. ¬(∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n)))
11. ∀p:Prime. ((p | n) ⇒ (¬((p * p) | n)))
12. ∃d:ℕ. ((d | x) ∧ (2 ≤ d) ∧ (d | w) ∧ (d | y))
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)
BY
{ (ExRepD
   THEN (D -4 THEN Eliminate ⌜x⌝⋅ THEN ThinVar `x')
   THEN D -1
   THEN Eliminate ⌜y⌝⋅
   THEN ThinVar `y'
   THEN D -1
   THEN Eliminate ⌜w⌝⋅
   THEN ThinVar `w') }

1
1. d : ℕ
2. c2 : ℤ
3. c1 : ℤ
4. c : ℤ
5. n : ℕ
6. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
7. ∀x:ℕd * c. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
8. 0 < d * c
9. (n * (d * c) * d * c) = (((d * c2) * d * c2) + ((d * c1) * d * c1)) ∈ ℤ
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. ¬(∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n)))
12. ∀p:Prime. ((p | n) ⇒ (¬((p * p) | n)))
13. 2 ≤ d
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}x:\mBbbN{}.
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
3.  x  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x:\mBbbN{}x
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
5.  0  <  x
6.  w  :  \mBbbZ{}
7.  y  :  \mBbbZ{}
8.  (n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))
9.  \mneg{}(n  =  0)
10.  \mneg{}(\mexists{}d:\mBbbN{}.  ((d  |  n)  \mwedge{}  (2  \mleq{}  d)  \mwedge{}  ((d  *  d)  |  n)))
11.  \mforall{}p:Prime.  ((p  |  n)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}((p  *  p)  |  n)))
12.  \mexists{}d:\mBbbN{}.  ((d  |  x)  \mwedge{}  (2  \mleq{}  d)  \mwedge{}  (d  |  w)  \mwedge{}  (d  |  y))
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (D  -4  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  ThinVar  `x')
  THEN  D  -1
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ThinVar  `y'
  THEN  D  -1
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}w\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ThinVar  `w')

---

Home Index