---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares


1. d : ℕ
2. c2 : ℤ
3. c1 : ℤ
4. c : ℤ
5. n : ℕ
6. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
7. ∀x:ℕd * c. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
8. 0 < d * c
9. (n * (d * c) * d * c) = (((d * c2) * d * c2) + ((d * c1) * d * c1)) ∈ ℤ
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. ¬(∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n)))
12. ∀p:Prime. ((p | n) ⇒ (¬((p * p) | n)))
13. 2 ≤ d
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)
BY
{ (Assert (n * c * c) = ((c2 * c2) + (c1 * c1)) ∈ ℤ BY
         (Mul ⌜d * d⌝ 0⋅ THEN Auto)) }

1
1. d : ℕ
2. c2 : ℤ
3. c1 : ℤ
4. c : ℤ
5. n : ℕ
6. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
7. ∀x:ℕd * c. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
8. 0 < d * c
9. (n * (d * c) * d * c) = (((d * c2) * d * c2) + ((d * c1) * d * c1)) ∈ ℤ
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. ¬(∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n)))
12. ∀p:Prime. ((p | n) ⇒ (¬((p * p) | n)))
13. 2 ≤ d
14. (n * c * c) = ((c2 * c2) + (c1 * c1)) ∈ ℤ
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbN{}
2.  c2  :  \mBbbZ{}
3.  c1  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}x:\mBbbN{}.
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
7.  \mforall{}x:\mBbbN{}d  *  c
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
8.  0  <  d  *  c
9.  (n  *  (d  *  c)  *  d  *  c)  =  (((d  *  c2)  *  d  *  c2)  +  ((d  *  c1)  *  d  *  c1))
10.  \mneg{}(n  =  0)
11.  \mneg{}(\mexists{}d:\mBbbN{}.  ((d  |  n)  \mwedge{}  (2  \mleq{}  d)  \mwedge{}  ((d  *  d)  |  n)))
12.  \mforall{}p:Prime.  ((p  |  n)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}((p  *  p)  |  n)))
13.  2  \mleq{}  d
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))


By

---

Latex:
(Assert  (n  *  c  *  c)  =  ((c2  *  c2)  +  (c1  *  c1))  BY
              (Mul  \mkleeneopen{}d  *  d\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index