---

Step * 2 1 1 of Lemma power-sum-product


1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℤ
5. m : ℕ
6. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
7. (Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1) + m)
  + 1)
∈ ℤ
⊢ ((Σ(a[x@0] * x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1) + (a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1))) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (n + m) + 1)
∈ ℤ
BY
{ Subst ⌜(Σ(a[x@0] * x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1) + (a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1))) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1) 
         ~ (Σ(a[x@0] * x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
         + ((a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1)) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))⌝ 0⋅ }

1
.....equality..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℤ
5. m : ℕ
6. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
7. (Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1) + m)
  + 1)
∈ ℤ
⊢ (Σ(a[x@0] * x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1) + (a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1))) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1) ~ (Σ(a[x@0]
* x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1)
* Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
+ ((a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1)) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))

2
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℤ
5. m : ℕ
6. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
7. (Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1) + m)
  + 1)
∈ ℤ
⊢ ((Σ(a[x@0] * x^x@0 | x@0 < (n + 1) - 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
+ ((a[(n + 1) - 1] * x^((n + 1) - 1)) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1)))
= Σ(Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (n + m) + 1)
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  b  :  \mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
7.  (\mSigma{}(a[i]  *  x\^{}i  |  i  <  (n  -  1)  +  1)  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
=  \mSigma{}(\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  n  -  1  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i  +  1)
    *  x\^{}i  |  i  <  ((n  -  1)  +  m)  +  1)
\mvdash{}  ((\mSigma{}(a[x@0]  *  x\^{}x@0  |  x@0  <  (n  +  1)  -  1)  +  (a[(n  +  1)  -  1]  *  x\^{}((n  +  1)  -  1)))
*  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
=  \mSigma{}(\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  n  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i  +  1)
    *  x\^{}i  |  i  <  (n  +  m)  +  1)


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}(\mSigma{}(a[x@0]  *  x\^{}x@0  |  x@0  <  (n  +  1)  -  1)  +  (a[(n  +  1)  -  1]  *  x\^{}((n  +  1)  -  1)))
              *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1)  \msim{}  (\mSigma{}(a[x@0]  *  x\^{}x@0  |  x@0  <  (n  +  1)  -  1)
              *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
              +  ((a[(n  +  1)  -  1]  *  x\^{}((n  +  1)  -  1))  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index