---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
⊢ ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
BY
{ ((Assert λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi  ∈ ℚCube(k) BY
          (Unfold `rational-cube` 0 THEN Auto))
   THEN (D 0 With ⌜λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi ⌝  THENW Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi  ∈ ℚCube(k)
⊢ ↑is-half-cube(k;a;λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi )

2
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ↑is-half-cube(k;a;λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi )
18. i@0 : ℕk
⊢ if (i@0 =z i) then [fst((c i))] else c i@0 fi  ≤ c i@0

3
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ↑is-half-cube(k;a;λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi )
18. ∀i@0:ℕk. if (i@0 =z i) then [fst((c i))] else c i@0 fi  ≤ c i@0
19. y : ℚCube(k)
20. ↑is-half-cube(k;a;y)
21. ∀i:ℕk. y i ≤ c i
⊢ y = (λj.if (j =z i) then [fst((c i))] else c j fi ) ∈ ℚCube(k)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  (fst((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
\mvdash{}  \mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  d  i  \mleq{}  c  i))


By

---

Latex:
((Assert  \mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  [fst((c  i))]  else  c  j  fi    \mmember{}  \mBbbQ{}Cube(k)  BY
                (Unfold  `rational-cube`  0  THEN  Auto))
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  [fst((c  i))]  else  c  j  fi  \mkleeneclose{}    THENW  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index