---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma immediate-rc-face-implies


1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. c : ℚCube(k)
4. 0 < Σ(dim(c i) | i < k)
5. f ≤ c
6. dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ
7. ↑Inhabited(c)
8. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
9. ∀i:ℕk
     (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval)
     ∨ ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval))))
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval)
13. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
14. j : ℕk
15. ¬(j = i ∈ ℤ)
16. dim(c j) = 1 ∈ ℤ
17. ((f j) = [fst((c j))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f j) = [snd((c j))] ∈ ℚInterval)
18. dim(f i) = 0 ∈ ℤ
19. dim(f j) = 0 ∈ ℤ
20. ↑Inhabited(f)
21. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[i] + Σ(if (x =z i) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing i < n
22. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
⊢ dim(f i) + dim(f j) + Σ(if (i1 =z j) then 0 if (i1 =z i) then 0 else dim(f i1) fi  | i1 < k) < (dim(c i)
+ dim(c j)
+ Σ(if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(c i1)
  fi  | i1 < k)) - 1
BY
{ (Assert ⌜Σ(if (i1 =z j) then 0
           if (i1 =z i) then 0
           else dim(f i1)
           fi  | i1 < k) ≤ Σ(if (i1 =z j) then 0
           if (i1 =z i) then 0
           else dim(c i1)
           fi  | i1 < k)⌝⋅
THENM Auto
) }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. c : ℚCube(k)
4. 0 < Σ(dim(c i) | i < k)
5. f ≤ c
6. dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ
7. ↑Inhabited(c)
8. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
9. ∀i:ℕk
     (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval)
     ∨ ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval))))
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval)
13. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
14. j : ℕk
15. ¬(j = i ∈ ℤ)
16. dim(c j) = 1 ∈ ℤ
17. ((f j) = [fst((c j))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f j) = [snd((c j))] ∈ ℚInterval)
18. dim(f i) = 0 ∈ ℤ
19. dim(f j) = 0 ∈ ℤ
20. ↑Inhabited(f)
21. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[i] + Σ(if (x =z i) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing i < n
22. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
⊢ Σ(if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(f i1)
  fi  | i1 < k) ≤ Σ(if (i1 =z j) then 0
  if (i1 =z i) then 0
  else dim(c i1)
  fi  | i1 < k)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  0  <  \mSigma{}(dim(c  i)  |  i  <  k)
5.  f  \mleq{}  c
6.  dim(f)  =  (dim(c)  -  1)
7.  \muparrow{}Inhabited(c)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  =  (c  i))  \mvee{}  ((dim(c  i)  =  1)  \mwedge{}  (((f  i)  =  [fst((c  i))])  \mvee{}  ((f  i)  =  [snd((c  i))]))))
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  ((f  i)  =  [fst((c  i))])  \mvee{}  ((f  i)  =  [snd((c  i))])
13.  dim(c  i)  =  1
14.  j  :  \mBbbN{}k
15.  \mneg{}(j  =  i)
16.  dim(c  j)  =  1
17.  ((f  j)  =  [fst((c  j))])  \mvee{}  ((f  j)  =  [snd((c  j))])
18.  dim(f  i)  =  0
19.  dim(f  j)  =  0
20.  \muparrow{}Inhabited(f)
21.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
            \mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  =  (f[i]  +  \mSigma{}(if  (x  =\msubz{}  i)  then  0  else  f[x]  fi    |  x  <  n))  supposing  i  <  n
22.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
            \mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  =  (f[j]  +  \mSigma{}(if  (x  =\msubz{}  j)  then  0  else  f[x]  fi    |  x  <  n))  supposing  j  <  n
\mvdash{}  dim(f  i)
+  dim(f  j)
+  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
    else  dim(f  i1)
    fi    |  i1  <  k)  <  (dim(c  i)
+  dim(c  j)
+  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
    if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
    else  dim(c  i1)
    fi    |  i1  <  k))  -  1


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
                  if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
                  else  dim(f  i1)
                  fi    |  i1  <  k)  \mleq{}  \mSigma{}(if  (i1  =\msubz{}  j)  then  0
                  if  (i1  =\msubz{}  i)  then  0
                  else  dim(c  i1)
                  fi    |  i1  <  k)\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  Auto
)

---

Home Index