---

Step * 1 2 3 2 2 1 of Lemma qroot

.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ (d/b^k) < (1/n)
BY
{ TACTIC:((GenConcl ⌜b^k = B ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
          THEN QMul ⌜n⌝ 0⋅
          THEN Auto
          THEN (QMul ⌜B⌝ 0⋅
                THEN Auto
                THEN RepeatFor 2 ((RWW  "qmul-mul qless-int" 0 THEN Auto))
                THEN (RWO "exp_step" (-1) THENA Auto)
                THEN Eliminate ⌜d⌝⋅
                THEN Eliminate ⌜B⌝⋅
                THEN Eliminate ⌜c⌝⋅
                THEN Eliminate ⌜b⌝⋅
                THEN OldAutoSplit)⋅) }

1
1. s : 𝔹
2. q : ℤ
3. n : ℕ+
4. b : ℕ+
5. k : {2...}
6. c : ℕ+
7. p : ℤ
8. 0 < q
9. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
10. ¬↑qeq(q;0)
11. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
12. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
13. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
14. c = if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else p * n * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * if s then 2 else q * n fi )^k
22. (x * if s then 2 else q * n fi )^k ≤ ((|a|
    + (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1))
    * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
26. B : ℕ+
27. (if s then 2 else q * n fi  * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1)) = B ∈ ℕ+
28. ↑s
⊢ ((2 * 2^(k - 1)) - 1) * n < 2 * 2^(k - 1)

2
1. s : 𝔹
2. q : ℤ
3. n : ℕ+
4. b : ℕ+
5. k : {2...}
6. c : ℕ+
7. p : ℤ
8. 0 < q
9. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
10. ¬↑qeq(q;0)
11. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
12. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
13. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
14. c = if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else p * n * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * if s then 2 else q * n fi )^k
22. (x * if s then 2 else q * n fi )^k ≤ ((|a|
    + (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1))
    * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
26. B : ℕ+
27. (if s then 2 else q * n fi  * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1)) = B ∈ ℕ+
28. ¬↑s
⊢ ((q * n)^(k - 1) - 1) * n < (q * n) * (q * n)^(k - 1)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \{2...\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  p  :  \mBbbZ{}
4.  q  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  q
6.  \mneg{}(q  =  0)
7.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
8.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
9.  s  :  \mBbbB{}
10.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
11.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
13.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  c  =  b\^{}(k  -  1)
15.  a  :  \mBbbZ{}
16.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
17.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
19.  x  :  \mBbbN{}
20.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
21.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
22.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
23.  (0  \mleq{}  (p/q))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y))
24.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y)
25.  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 
\mvdash{}  (d/b\^{}k)  <  (1/n)


By

---

Latex:
TACTIC:((GenConcl  \mkleeneopen{}b\^{}k  =  B\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  QMul  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  (QMul  \mkleeneopen{}B\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  RepeatFor  2  ((RWW    "qmul-mul  qless-int"  0  THEN  Auto))
                            THEN  (RWO  "exp\_step"  (-1)  THENA  Auto)
                            THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}B\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  OldAutoSplit)\mcdot{})

---

Home Index