---

Step * 1 2 3 2 2 1 2 of Lemma qroot


1. s : 𝔹
2. q : ℤ
3. n : ℕ+
4. b : ℕ+
5. k : {2...}
6. c : ℕ+
7. p : ℤ
8. 0 < q
9. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
10. ¬↑qeq(q;0)
11. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
12. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
13. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
14. c = if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else p * n * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * if s then 2 else q * n fi )^k
22. (x * if s then 2 else q * n fi )^k ≤ ((|a|
    + (if s then 2 * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) else if s then 2 else q * n fi ^(k - 1) fi  - 1))
    * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
26. B : ℕ+
27. (if s then 2 else q * n fi  * if s then 2 else q * n fi ^(k - 1)) = B ∈ ℕ+
28. ¬↑s
⊢ ((q * n)^(k - 1) - 1) * n < (q * n) * (q * n)^(k - 1)
BY
{ (Lemmaize [8]
   THEN Auto
   THEN GenConclAtAddr [2;2]
   THEN (InstLemma `mul_preserves_lt` [⌜v - 1⌝;⌜q * v⌝;⌜n⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN InstLemma `mul_preserves_le` [⌜1⌝;⌜q⌝;⌜v⌝]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  s  :  \mBbbB{}
2.  q  :  \mBbbZ{}
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  k  :  \{2...\}
6.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  p  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  q
9.  \mneg{}(q  =  0)
10.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
11.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
12.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
13.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
14.  c  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)
15.  a  :  \mBbbZ{}
16.  a
=  if  s
    then  p  *  2  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)
    else  p  *  n  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)
    fi 
17.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  d
=  (if  s  then  2  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)  else  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)  fi    -  1)
19.  x  :  \mBbbN{}
20.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
21.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  )\^{}k
22.  (x  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  )\^{}k  \mleq{}  ((|a|
        +  (if  s  then  2  *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)  else  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1)  fi   
            -  1))
        *  y\^{}k)
23.  (0  \mleq{}  (p/q))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y))
24.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y)
25.  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 
26.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
27.  (if  s  then  2  else  q  *  n  fi    *  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \^{}(k  -  1))  =  B
28.  \mneg{}\muparrow{}s
\mvdash{}  ((q  *  n)\^{}(k  -  1)  -  1)  *  n  <  (q  *  n)  *  (q  *  n)\^{}(k  -  1)


By

---

Latex:
(Lemmaize  [8]
  THEN  Auto
  THEN  GenConclAtAddr  [2;2]
  THEN  (InstLemma  `mul\_preserves\_lt`  [\mkleeneopen{}v  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q  *  v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  InstLemma  `mul\_preserves\_le`  [\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index